101
правка
Изменения
Распределил рисунки по тексту, убрал их нумерацию
|definition=
<b>Битонической последовательностью <i>(bitonic sequence)</i></b> называется последовательность, которая сначала монотонно возрастает, а затем монотонно убывает, или последовательность, которая приводится к такому виду путем циклического сдвига.}}
Здесь мы воспользуемся [[0-1 принцип|0-1 принципом]] и будем рассматривать только нуль-единичные битонические последовательности:
{{Определение
|definition=
|
=== Полуфильтр ===
Битонический сортировщик представляет собой каскад т.н. так называемых <b>полуфильтров <i>(half-cleaner)</i></b>.Каждый полуфильтр {{---}} сравнивающая сеть компараторов единичной глубины, в которой <tex>i</tex>-й входной провод сравнивается со входным проводом с номером <tex>\frac{n}{2} + i</tex>, где <tex>i=1,2,...,\frac{n}{2}</tex> (пусть количество входов <tex>n</tex> {{---}} чётное).<br>||[[Файл:Half-Cleaner1.png|200px262px|right|thumb|Рис.1 Полуфильтр для 8 проводов.]]
|}
Если на вход в полуфильтр подать битоническую последовательность из нулей и единиц длиной <tex>n</tex>, то на выходе мы получим две битонические последовательности длиной <tex>\frac{n}{2}</tex> такие, что каждый элемент из верхней последовательности не превосходит любой элемент из нижней, и что одна из них будет <b>однородной ''(clean)''</b> {{---}} целиком состоящей либо из нулей, либо из единиц.<br>
|proof=
Для всех <tex>i=1,2,...,\frac{n}{2}</tex> полуфильтр сравнивает провода с номерами <tex>i</tex> и <tex>i+\frac{n}{2}</tex>. Без потери общности будем рассматривать входную последовательность вида <tex>0...01...10...0</tex> (для последовательности вида <tex>1...10...01...1</tex> рассуждения аналогичны). В зависимости от того в каком блоке из последовательно расположенных нулей и единиц находится средняя точка <tex>\frac{n}{2}</tex> входной последовательности, можно выделить 3 случая, причем один из случаев (когда средняя точка попадает на блок из единиц) можно разбить еще на 2 случая. Все 4 случая разобраны на рис. 2рисунке справа. Для каждого из них лемма выполняется.
}}
||[[Файл:Half-Cleaner-proof.png|350px|right|thumb|Все случаи попадания битонической последовательности на полуфильтр.]]
|}
=== Построение битонического сортировщика ===
Теперь используем полуфильтры для сортировки битонических последовательностей. Как только что было доказано, один полуфильтр разделяет битоническую последовательность на две равные части, одна из которых однородна, а другая сама по себе является битонической последовательностью, причем части расположены в правильном порядке. Тогда мы можем каждую часть снова отправить в полуфильтр вдвое меньшего размера, чем предыдущий. Затем, если нужно, четыре получившихся части снова отправить в полуфильтры и так далее, пока количество проводов в одной части больше <tex>1</tex>.
Так можно построить сеть для числа входов, являющегося степенью двойки. Поскольку каждый вертикальный ряд полуфильтров вдвое сокращает число входов, которые необходимо отсортировать, глубина всей сети равна <tex>\log_{2}n</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} число входов.
Количество компараторов равно <tex dpi="150">\frac{n \log_2{n}}{2}</tex>, потому что размер одного полуфильтра на <tex>n</tex> входов {{---}} <tex>\frac{n}{2}</tex> компараторов, а в слое битонического сортировщика находится <tex>2^{i-1}</tex> полуфильтров, где <tex>i</tex> {{---}} номер слоя, начиная с единицы.||[[Файл:Half-Cleaner-proof.png|350px|right|thumb|Рис.2 Все случаи попадания битонической последовательности на полуфильтр.]]|}
== Объединяющая сеть ==
Отсортированная последовательность имеет вид <tex>0^i1^j</tex> для целых <tex>i, j\ge0</tex>. Запишем две входные последовательности как <tex>0^i1^j</tex> и <tex>0^k1^l</tex>. Если перевернуть вторую последовательность, получится отсортированная по невозрастанию последовательность <tex>1^l0^k</tex>. Если теперь записать первую и перевернутую вторую последовательности подряд, получится битоническая последовательность <tex>0^i1^{j+l}0^k</tex>, которую можно отсортировать в битоническом сортировщике с глубиной <tex>O(\log{n})</tex>.
Объединяющая сеть является ничем иным как битоническим сортировщиком. Единственное отличие в том, что половина входных проводов расположена в обратном порядке (предполагается, что мы объединяем две сети одинакового размера <tex>\frac{n}{2}</tex>). Поэтому первый полуфильтр будет отличаться от остальных {{---}} он будет соединять <tex>i</tex>-ый провод не с <tex>\frac{n}{2} + i</tex>-ым, а с <tex>n-i+1</tex>-ым проводом. Схема объединяющей сети для восьми проводов приведена на рисунке 4ниже.
Глубина и число компараторов в объединяющей сети очевидно те же, что и в битоническом сортировщике.
[[Файл:Merger_8.png|294px|center|thumb|Сеть, объединяющая две отсортированные последовательности из четырёх чисел в одну отсортированную последовательность из восьми чисел.]]
== Сортирующая сеть ==
=== Построение ===
Теперь, с помощью описанных выше объединяющих сетей мы построим параллельную версию [[сортировка слиянием|сортировки слиянием]]. <br>
Пусть мы хотим отсортировать <tex>n=2^k</tex> входов, <tex>k</tex> {{---}} целое и <tex>k \ge0</tex>. Для этого сначала отсортируем пары проводов, поставив в первом слое компаратор между <tex>i</tex>-ым и <tex>i+1</tex>-ым проводом для нечетных <tex>i < n</tex>. Затем с помощью объединяющих сетей параллельно объединим отсортированные пары проводов в отсортированные четверки. Затем объединим отсортированные четверки в отсортированные восьмерки. И так далее, пока на выходе очередной объединяющей сети не будет <tex>n</tex> проводов. <br>Схема такой сети приведена на рис. 5. Выше мы доказывали корректность элементов сортирующей сети только для векторов из нулей и единиц. Однако сама сеть будет сортировать любые числа согласно [[0-1 принцип|0-1 принципу]] (объединяющая сеть и битонический сортировщик тоже будут работать, но доказать это чуть сложнее).
=== Точные формулы размера и глубины и размера сети ===
Оценим глубину этой сортирующей сети. Она состоит из <tex>\log_2{n}</tex> слоёв объединяющих сетей и каждый слой имеет глубину, зависящую от его номера. В слое с номером <tex>i</tex> (<tex>1 \le i \le \log_2{n}</tex>) объединяющая сеть имеет глубину <tex>\log_2{2^i}</tex>, потому как объединяет <tex>2^i</tex> проводов. Таким образом глубина всей сортирующей сети в точности равна <tex dpi = "150">\sum\limits^{\log_2{n}}_{i = 1}{\log_2{2^i}} = \sum\limits^{\log_2{n}}_{i = 1}{i} = \frac{1+\log_2{n}}{2} \log_2{n}</tex>.
