23
правки
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
Рассмотрим функции вида: <tex>f:[a,A] \leftarrow [b,B]</tex>, где <tex>f</tex> убывает и <tex>f(a)=B, f(A)=Основные определенияb</tex>.Множество всех таких функций обозначим через <tex>\mathbb{F}</tex> Введем несколько понятий:{{Определение|definition=Множество решений <tex>\mathrm{X=(x_1,x_2, \ldots , x_n)}</tex> называется <tex>\alpha</tex>-аппроксимацией функции <tex>f \in \mathbb{F}</tex>, если:<tex>\mathrm{\forall x \in [a,A] \exists x_i \in X : (x \leq \alpha x_i) \bigwedge (f(x) \leq \alpha f(x_i))}</tex>}}Множество всех множеств решений обозначим через <tex>\mathbb{X}</tex>
{{Определение
|definition=Задача многокритериальной оптимизации формулируется следующим образом:Коэффицентом аппроксимации функции <tex>\mathrm{ maximize \{ f(x)=(f_1(x), f_2(x), \ldots ,f_d(x)) \} }</tex>, где на <tex>X</tex> равен: <tex>\mathrm{ \alpha (f(x, X):X = inf \rightarrow {\mathbb{R}^d alpha | X}- \alpha</tex> (аппроксимация <tex>df \}</tex> - количество критериев).
}}
{{Определение
|definition=Множество Оптимальный коэффицент аппроксимации <tex>\alpha_{opt} = \sup \limits_{f \in \mathbb{F}} \inf \limits_{x \in \mathbb{X^* }} \subseteq alpha (f, X)</tex> называется Парето оптимальным}} {{Теорема|statement=<tex>\alpha_{opt} = min ( \frac{A}{a}, если:\frac{B}{b})^{\frac{1}{n}}</tex>|id=theorem1|about=1|proof= {{Утверждение|id=statement1|about=1|statement=<tex>\mathrmalpha_{opt} \forall x^* leq (\subset Xfrac{A}{a})^* {\not frac{1}{n}}</tex>|proof=Рассмотрим <tex>\exists x alpha = (\subset X : x frac{A}{a})^{\succ x^*frac{1}{n}}</tex>,тогда <tex>x_i=a \alpha^i</tex>.где <tex> x \succ x^* {x_i\leftrightarrow }</tex> - <tex>\left( alpha</tex>-аппроксимация, т.к. <tex>\forall i x \in [x_i, x_{i+1 \ldots d}]: f_if(x) \leq f(\alpha x_i)</tex>.Следовательно <tex>\alpha_{opt} \leq \alpha</tex>.}} {{Утверждение|id=statement2|about=2|statement=<tex> f_i\alpha_{opt} \leq (x\frac{B}{b})^*) {\frac{1}{n}}</tex>|proof=Рассмотрим <tex>\alpha = (\rightfrac{B}{b}) ^{\bigwedge frac{1}{n}}</tex> и <tex>x_i=f^{-1}(B \leftalpha^{-i})</tex>.Тогда <tex>f( x_i) \geq B \exists alpha^{-i }</tex>.Следовательно <tex>\in 1 not \ldots dexists x: f_if(x_i)>f(x) > f_iB \alpha^{-1}</tex>.Т.о. <tex>\{x_i\}</tex> - <tex>\alpha</tex>-аппроксимация, т.к. <tex>B \alpha^{-i} \leq f(x^*)\right)leq B \alpha^{-i+1}</tex>
}}
Получили <tex>x \succ alpha_{opt} \geq min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b})^{\frac{1}{n}}</tex>. Пусть <tex>\forall i \in \{0, 1, \ldots, n\} f(x)=B(B/b)^*{-i/n}</tex> читаетсяна интервале <tex>(a(A/a)^{(i-1)/n}, как "a(A/a)^{i/n}]</tex>x. Теперь <tex>f</tex> - это фронт Парето из <tex>n+1</tex> слоя. Предложим множество решений <tex>(x_1,x_2, \ldots , x_n)</tex> доминирует из <tex>xn</tex> точек. По принципу Дирихде получается, что хотя бы на одном уровне нету ни одного решения. Это означает, что нижняя граница этого уровня апроксимируется значением <tex>\min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b})^*{\frac{1}{n}}</tex>".
}}
Для пересчета значений функции приспособленностидоказательства первого утверждения, при удалении особи достаточно заметить, что <tex>\forall x\in \mathbb{R}: e^*x\geq 1+x </tex> из поколения.Для доказательства второго - <tex>\forall x \in [0, достаточно\varepsilon]:e^x \leq 1+(1+\varepsilon)x </tex>}}
{{Следствие|definition=<tex>\alpha_{opt} =Индикатор гиперобъема==1 + \Theta(1/n)</tex>}}
Существует много различных индикаторов, с помощью которых численно оценивают качество решений. Но широко используется только один.
