Изменения

== Определение Введение == '''Мультикритериальная В данной статье рассматривается многокритериальная оптимизация''' , её задача. Рассматривается понятие Парето-фронт - это процесс одновременной оптимизации двух или более конфликтующих целевых функций в заданной области определениямножество Парето оптимальных значений.Также рассматривается задача коммивояжера и предлагается алгоритм её мультиобъективизации

где <math> f(x) : X \rightarrow R^K</math> - &ndash; целевая вектор-функция, где <math>K \ge 2</math>

Решения Говорят, что <math>x</math> ''доминирует над'' <math>x^*</math>. поПарето, если <math>x</math> не хуже <math>x^*</math> по всем критериям и хотя бы по одному критерию превосходит <math>x^*</math>. В таком случае в Парето оптимальном множестве выборе <math>x^*</math> нет смысла, т.к. <math>x</math> по всем параметрам не уступает, а по каким-то и превосхожит <math>x^*</math>. Если рассматривать всегодва критерия то на рис. 1 показана областьпространства, доминируемая данным решением А. Эта область «замкнута»: элементы на ее границе также являются эффективными или допустимымидоминируемы А[[Файл:Dogmin points.jpg|мини|200px|Рис.1 &ndash; Доминируемые решения ]]

Для двух решений <math>x</math> и <math>x'</math> говорят <math>x \sim x'</math> тогда и только тогда, когда <math>\exists i \in 1..K \colon f_i(x) > f_i(x') \land \exists j \in 1..K, j \ne i \colon f_j(x') > f_j(x)</math> - &ndash; такую пару решений называют '''несравнимойнедоминируемой'''

== Получение оптимальных по Парето решений ==Для получения оптимальных по Парето решений используют методы скаляризации. Целевую функцию задачи многокритериальной оптимизации превращают в функцию со скалярным значениемгде <math>f_0(x)</math> &ndash; первая цель; <math>f_0(x)</math> &ndash; вторая цель.

Функция скаляризации должна удовлетворять следующим условиямДанный подход помогает избежать проблему локальных максимумов (минимумов).

Пусть ==== Задача коммивояжера ====Задача коммивояжера (TSP)является наиболее известно из всего класса <math>FNP</math> - функция скаляризациисложных задач. Если для <math> \forall \vec y^1, \vec y^2 \in \vec f(X)</math> выполняется:Формулируется задача следующим образом: <math>\vec y^1 \le \vec y^2 \implies F (\vec y^1 ) < F (\vec y^2),</math>

тогда решение Задано <math>C=\vec x^0</math>{c_1,c_2, что минимизирует <math>F</math> до <math>X</math>\dots, является решением по Парето.Если <math>F</math> сохраняет отношение порядка <math><</math> в <math>c_N\vec y} </math>, то есть, если &ndash; множество городов и для произвольных каждой пары <math>\vec y^1{c_i, c_j\vec y^2 \in \vec f(X)}</math> выполняетсязадано расстояние. Наша цель &ndash; найти цепь из городов, минимизирующую величину:: <math>\vec ysum^{N-1}_{i=1 < } d(C_{\vec y^2 pi(i)},C_{\implies F pi(\vec y^i+1 ) < F })+d(C_{\vec y^2 pi(N)},</math>тогда решение <math>\vec x^0</math>, что минимизирует <math>F</math> до <math>X</math>, является ''слабым по Парето''. Если <math>F</math> непрерывна на <math>C_{\vec y</math> и <math>\vec x^0</math> единственная точка минимума <math>F</math> на <math>X</math>, тогда <math>\vec x^0pi(1)})</math> является решением по Парето.

=== Метод взвешенных множителей ===: Применяя к этой задаче мультиобъктивизацию, нужно разбить её на подзадачи. TSP &ndash; является <math>F_1(\vec f(\vec x)) = w_1 f_1 (\vec x) + \dots + w_r f_r (\vec x).NP</math>-сложной именно потому, что нет хорошего разложения этой задачи.Тем не менее задачу можно разбить на две или больше подтуров, каждый из которых мы можем минимизировать.

'''НедостаткиПредставим подтуры в виде двух городов. Тогда наша задача примет вид:''' невозможность охватить все оптимальные по Парето точки из множества Парето-фронта.В задачах комбинаторной многокритериальной оптимизации множество целевых значений не является выпуклым, поэтому метод взвешенных сумм не подходит для скаляризации целевых функций для этих задач.

=== Функция скаляризации Чебышева ===: <math>F_minimize\infty {f(\vec fpi,a,b) = (f_1(\pi,a,b),f_2(\vec xpi,a,b))\}</math>::'''where'''<math>f_1(\pi,a,b) = \max_sum^{\pi^{-1}(b)-1\leq }_{i =\leq rpi^{-1} w_i f_i(a)} d(C_{\pi(i)},C_{\vec xpi(i+1)}).</math>Взвешенная функция скаляризации Чебышева сохраняет отношения ::'''and''' <math><f_2(\pi,a,b)=\sum^{N-1}_{i=\pi^{-1}(b)} d(C_{\pi(i)},C_{\pi(i+1)}) + \sum^{\pi^{-1}(a)-1}_{i=1} d(C_{\pi(i)},C_{\pi(i+1)}) </math> и поэтому минимум <math>F_+ d(C_{\inftypi(N)},C_{\pi(1)})</math> является слабым по Парето.,

=== Метод ограничений ===В качестве решения задачи принимают компромиссное решениегде <math>a</math> и <math>b</math> &ndash; два города, указанных ''априори''. Если <math>\pi (a) < \pi (b)</math>, меняем их местами.

'''Компромиссное решение''' - эффективное решениеПредполагается, которое обеспечивает одинаковые минимальные взвешенные относительные потери по всем критериям одновременно. Если что <math>p_ia</math> - вес нормализованного критерия и <math>w_ib</math>, то величина <math>p_iw_i(x_a)=s</math>, где <math>x_0</math> - компромиссное решение, будет постоянна для всех критериеввыбраны произвольно.

* [http://rainen.ifmowikipedia.ruorg/~tsarevwiki/teachingMultiobjective_optimization Wikipedia: Multiobjective optimization]* [http:/ea-2012/lecturesen.wikipedia.org/3wiki/p1213.pdf Friedrich T., Neumann F. Foundations of Evolutionary Multi-Objective OptimizationHill_climbing Wikipedia: Hill climbing]