Изменения
Нет описания правки
Оптимальный коэффициент апроксимации для произвольного Парето-фронта из n точек ограничивается <math> 1 + \Theta (1/n) </math>. Докажем, что он равен асимптотическому коэффициенту апроксимации для множества из n точек максимизирующих значение индикатора гиперобъема.
Рассмотрим функции вида: <tex>f:[a,A] \rightarrow [b,B]</tex>, где <tex>f</tex> убывает и <tex>f(a)=B, f(A)=b</tex>.. Коэффициент апроксимации монотонно убывающих функций не зависит от масштабов отрезков <tex> [a,A]</tex> и <tex>[b,B] </tex>. Так как для фиксированных констант <tex> \mu , \nu </tex> функция <tex> f^*:[ \mu a , \mu A ] \rightarrow [ \nu b , \nu B ]</tex> и <tex> f^*= \nu f(x/ \mu ) </tex> имеет тот же коэффициент аппроксимации. Однако, коэффициент аппроксимации зависит от значений <tex>A/a</tex> и <tex>B/b</tex>.
Множество всех таких функций обозначим через <tex>\mathbb{F}</tex>.
Для данного класса функций множества размера <tex>n</tex> имеют оптимальный аппроксимационный коэффициент: [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Эволюционные_алгоритмы_многокритериальной_оптимизации,_основанные_на_индикаторах._Гиперобъем|ограничивается <tex>1 + \frac{\log (\min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b}))}{n}</tex> = <math> 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) </math>]. Верхняя граница задает нижнюю границу для коэффициента апроксимации, который может быть достигнут для любого множества решения. ДокажемВ статье [The Maximum Hypervolume SetYields Near-optimal Approximation|http://rain.ifmo.ru/~tsarev/teaching/ea-2012/lectures/4/2010GECCO_Hyp.pdf], п. 4 приведено доказательство того, что для множества максимизирующего значение индикатора гиперобъема мы можем достичь имеем верхнюю границу <tex>1 + \frac{ \sqrt{ \frac{A}{a}} + \sqrt{ \frac{B}{b}}}{n - 4}</tex> = <math> 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) </math>, для коэффициента апроксимации.
