Изменения

Оптимальный Рассмотрим функции вида: <tex>f:[a,A] \rightarrow [b,B]</tex>, где <tex>f</tex> убывает и <tex>f(a)=B, f(A)=b</tex>. Коэффициент апроксимации монотонно убывающих функций не зависит от масштабов отрезков <tex> [a,A]</tex> и <tex>[b,B] </tex>. Так как для фиксированных констант <tex> \mu , \nu </tex> функция <tex> f^*:[ \mu a , \mu A ] \rightarrow [ \nu b , \nu B ]</tex> и <tex> f^*= \nu f(x/ \mu ) </tex> имеет тот же коэффициент аппроксимации. Однако, коэффициент аппроксимации зависит от значений <tex>A/a</tex> и <tex>B/b</tex>.  Множество всех таких функций обозначим через <tex>\mathbb{F}</tex>. Далее будем рассматривать только монотонно убывающие, полунепрерывные Парето-фронты. Рассмотрим оптимальный коэффициент апроксимации для произвольного данного Парето-фронта из n (<tex> \alpha _{OPT}</tex>) и верхнюю границу коэффициента аппроксимации для множества из n точек, максимизирующего значение индикатора гиперобъема (<tex> \alpha _{HYP}</tex>) и докажем, что для количества точек ограничивается <tex> n </tex> они одинаковы, а именно <math> 1 + \Theta (\frac{1/}{n}) </math>. Докажем [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Эволюционные_алгоритмы_многокритериальной_оптимизации, что он равен асимптотическому коэффициенту _основанные_на_индикаторах._Гиперобъем| Первая часть доказательства] ограничивает значение оптимального коэффицента апроксимации для множества из сверху: <tex>1 + \frac{\log (\min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b}))}{n}</tex> = <math> 1 + \Theta ( \frac{1}{n точек максимизирующих значение индикатора гиперобъема}) </math>.

Рассмотрим функции В статье [1], п. 4 приведено доказательство того, что для данного видафункций всегда существует множество решение, максимизирующее значение индикатора гиперобъема, а также устанавливает значение коэффициент аппроксимации значением: <tex>f:[1 + \frac{ \sqrt{ \frac{A}{a,A] }} + \sqrt{ \rightarrow [frac{B}{b,B]}}}{n - 4}</tex>, где = <texmath>f</tex> убывает и <tex>f1 + \Theta (a)=B, f(A\frac{1}{n})=b</texmath>. Коэффициент апроксимации монотонно убывающих функций не зависит  Конечно, зависимость от масштабов отрезков <tex> [a,A]</tex> и <tex>[b,B] </tex>. Так как в аппроксимационном коэффициенте оптимального множества решения меньше чем в аппроксимационном коэффициенте для фиксированных констант <tex> \mu множества, \nu </tex> функция <tex> f^*:[ \mu a , \mu A ] \rightarrow [ \nu b , \nu B ]</tex> и <tex> f^*= \nu f(x/ \mu ) </tex> имеет тот же коэффициент аппроксимациимаксимизирующего гиперобъем. Однако, коэффициент полученная граница для коэффициента аппроксимации зависит от является верхней. На рисунке ниже Вы можете увидеть пример поведения данных значений <tex>A/a</tex> и <tex>B/b</tex>для определенного класса функций.