23
правки
Изменения
м
typos
|id=definition2
|about=2
|definition=Коэффицентом Коэффициентом аппроксимации функции <tex>f</tex> на <tex>X</tex> равен:
<tex>\mathrm{\alpha (f, X) = inf \{\alpha | X} - \alpha</tex> аппроксимация <tex>f \}</tex>
}}
|id=definition3
|about=3
|definition=Оптимальный коэффицент коэффициент аппроксимации <tex>\alpha_{opt} = \sup \limits_{f \in \mathbb{F}} \inf \limits_{x \in \mathbb{X}} \alpha (f, X)</tex>
}}
Пусть <tex>\forall i \in \{0, 1, \ldots, n\} f(x)=B(B/b)^{-i/n}</tex> на интервале <tex>(a(A/a)^{(i-1)/n}, a(A/a)^{i/n}]</tex>.
Теперь <tex>f</tex> - это фронт Парето из <tex>n+1</tex> слоя. Предложим множество решений <tex>(x_1,x_2, \ldots , x_n)</tex> из <tex>n</tex> точек. По принципу Дирихде Дирихле получается, что хотя бы на одном уровне нету ни одного решения. Это означает, что нижняя граница этого уровня апроксимируется аппроксимируется значением <tex>\min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b})^{\frac{1}{n}}</tex>.
}}
|about=4
|statement=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n \in \mathbb{N}</tex>.
Тогда существует, не обязятельно обязательно единственное, множество решения <tex>X \in \mathbb{X}</tex>, которое максимизирует значение <tex>HYP(X)</tex> на <tex>\mathbb{X}</tex>
|proof=
<tex>X=(x_1, x_2, \ldots,x_n)</tex>
<tex>HYP(X)=\sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i-x_{i-1})(f(x_i) - r)</tex>
Рассмотрим ряд множест множеств решений <tex>\{X^i\}: \lim\limits_{i \rightarrow \infty} (X^i) = X</tex>
<tex>
\lim\limits_{j \rightarrow \infty} HYP(X^j) = \lim\limits_{i \rightarrow \infty} \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i^j-x_{i-1}^j)(f(x_i^j) - r) = \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i-x_{i-1})(\lim\limits_{i \rightarrow \infty} f(x_i^j) - r) = \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i-x_{i-1})(f(x_i) - r) = HYP(X)
</tex>
Получается, что <tex>HYP(X)</tex> - верхняя полунепрерывная, следовательно экстремум <tex>HYP</tex> достикается достигается на компакте.
}}
|id=definition6
|about=6
|definition=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n \geq 3</tex> и <tex>X = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{X}</tex>. Наименьшим вкладом этого множества называтесяназывается:
<tex>MinCon(X)= \min \limits_{2 \leq i \leq n-1} (x_i-x_{i-1})(f(x_i)- f(x_{i-1}))</tex>.
}}
|proof=
Пусть <tex>a_i=x_i-x_{i-1}</tex> <tex>\forall i \in [2,n]</tex> и <tex>b_i=f(x_i)-f(x_{i-1})</tex> <tex>\forall i \in [1,n-1]</tex>.
Подставив в [[#definition6|определниеопределение(6)]], получим:
<tex>MinCon(X)= \min \limits_{2 \leq i \leq n-1} a_i b_i \Leftrightarrow a_i \geq MinCon(X) / b_i \forall i \in [2, n-1]</tex>
<tex>\sum \limits_{i=2}^{n-1} MinCon(X) / b_i \leq \sum \limits_{i=2}^{n-1} a_i \leq \sum \limits_{i=2}^{n} a_i = \sum \limits_{i=2}^{n}x_i - \sum \limits_{i=1}^{n-1}x_i=x_n-x_1 </tex>
Таким образом <tex>(\alpha - 1)^2 x_i f(x_{i+1}) < \min \{\frac{x_iB}{(i-2)^2} ,\frac{A f(x_{i+1})}{(n-i-2)^2}\} \Leftrightarrow</tex> <tex>\alpha < 1 + \min \{\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2} ,\frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2}\}</tex>.
Т.к. <tex>\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2}</tex> монотонно убывает, а <tex>\frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2}\}</tex> монотонно возрастает, то максимальное значение <tex>\min \{\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2} ,\frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2}\}</tex> достигается при равестве равенстве обоих членов:
<tex>\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2} = \frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2}\} \Leftrightarrow i = 2 + \frac{(n-4)\sqrt{B/b}}{\sqrt{A/a} + \sqrt{B/b}}</tex>
