221
правка
Изменения
м
Последовательность из подходящих дробей для Для любой последовательности <tex>\langle a_0, a_1,\cdots\rangle</tex>, где удовлетворяющей условию <tex>a_0\in\mathbb{Z}; a_i\in\mathbb{N}, i>0</tex>, последовательность подходящих дробей для [[цепная дробь|цепной дроби]] <tex>\langle a_0, a_1,\cdots\rangle</tex> имеет предел.
Нет описания правки
{{Теорема
|statement=
|proof=
Возьмём нечётное <tex>n</tex>. Для него верно <tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n =(-1)^{n+1}=1>0</tex>. Тогда <tex>\frac{P_n}{Q_n}>\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}</tex>. Аналогично <tex>\frac{P_n}{Q_n}>\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}</tex>. Также верно, что <tex>\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}</tex> и <tex>\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}=\frac{1}{Q_{n+1}Q_n}</tex>. Вычитая одно из другого получаем <tex>\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{Q_{n+1}-Q_{n-1}}{Q_{n-1}Q_nQ_{n+1}}>0</tex>. Получаем, что последовательность из подходящих дробей с чётным номером возрастает. Аналогично последовательность из подходящих дробей с нечётным номером убывает. Следовательно последовательность подходящих дробей с чётным номером ограничена сверху, а с нечётным ограничена снизу. Значит они имеют предел. Но <tex>\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}\rightarrow 0</tex>, значит эти пределы совпадают.
{{Теорема
|statement=
Для любого вещественного числа <tex>\alpha</tex> можно построить цепную дробь.
|proof=
Пусть <tex>a_0=[\alpha]</tex>. Далее <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-a_0}</tex>. И определим все числа: <tex>a_i=[\alpha_i]</tex> и <tex>\alpha_i=\frac{1}{\alpha_{i-1}-a_{i-1}}</tex>.
