'''Двойное хеширование''' {{---}} метод борьбы с коллизиями, возникающими при [[Открытое_и_закрытое_хеширование#Закрытое хеширование|закрытом хешировании]], основанный на использовании двух хеш-функций для построения различных последовательностей исследования хеш-таблицы.
==Принцип двойного хеширования==
При двойном хешировании используются две независимые хеш-функции <tex> h_1(k) </tex> и <tex> h_2(k) </tex>. Пусть <tex> k </tex> {{---}} это наш ключ, <tex> m </tex> {{---}} размер нашей таблицы, <tex>n \mod m </tex> {{---}} остаток от деления <tex> n </tex> на <tex> m </tex>, тогда сначала исследуется ячейка с адресом <tex> h_1(k) </tex>, если она уже занята, то рассматривается <tex> (h_1(k) + h_2(k)) \mod m </tex>, затем <tex> (h_1(k) + 2 \cdot h_2(k)) \mod m </tex> и так далее. В общем случае идёт проверка последовательности ячеек <tex> (h_1(k) + i \cdot h_2(k)) \mod m </tex> где <tex> i = (0, 1, \; ... \;, m - 1) </tex>
Таким образом, операции вставки, удаления и поиска в лучшем случае выполняются за <tex>O(1)</tex>, в худшем {{---}} за <tex>O(m)</tex>, что не отличается от обычного [[Открытое_и_закрытое_хеширование#Линейное разрешение коллизий|линейного разрешения коллизий]].
Однако в среднем, при грамотном выборе хеш-функций, двойное хеширование будет выдавать лучшие результаты, за счёт того, что вероятность совпадения значений сразу двух независимых хеш-функций ниже, чем одной.
<center>
<tex>\forall x \neq y \; \exists h_1,h_2 : p(h_1(x)=h_1(y))> p((h_1(x)=h_1(y)) \land (h_2(x)=h_2(y)))</tex>
</center>
==Выбор хеш-функций==
<tex> h_1 </tex> может быть обычной хеш-функцией. Однако чтобы последовательность исследования могла охватить всю таблицу, <tex> h_2 </tex> должна возвращать значения:
*не равные <tex> 0 </tex>
*независимые от <tex> h_1 </tex>
*взаимно простые с величиной хеш-таблицы
Есть два удобных способа это сделать. Первый состоит в том, что в качестве размера таблицы используется простое число, а <tex> h_2 </tex> возвращает натуральные числа, меньшие <tex> m </tex>. Второй {{---}} размер таблицы является степенью двойки, а <tex> h_2 </tex> возвращает нечетные значения.
Например, если размер таблицы равен <tex> m </tex>, то в качестве <tex> h_2 </tex> можно использовать функцию вида <tex> h_2(k) = k \mod (m-1) + 1 </tex>
[[Файл: Вставка при двойном хэшировании.svg.jpeg|thumb|right|Вставка при двойном хешировании]]
==Пример==
Показана хеш-таблица размером 13 ячеек, в которой используются вспомогательные функции:
<center>
<tex> h(k,i) = (h_1(k) + i \cdot h_2(k)) \mod 13 </tex>
</center>
<center>
<tex> h_1(k) = k \mod 13 </tex>
</center>
<center>
<tex> h_2(k) = 1 + k \mod 11 </tex>
</center>
Мы хотим вставить ключ 14. Изначально <tex> i = 0 </tex>. Тогда <tex> h(14,0) = (h_1(14) + 0\cdot h_2(14)) \mod 13 = 1 </tex>. Но ячейка с индексом 1 занята, поэтому увеличиваем <tex> i </tex> на 1 и пересчитываем значение хеш-функции. Делаем так, пока не дойдем до пустой ячейки. При <tex> i = 2 </tex> получаем <tex> h(14,2) = (h_1(14) + 2\cdot h_2(14)) \mod 13 = 9 </tex>. Ячейка с номером 9 свободна, значит записываем туда наш ключ.
Таким образом, основная особенность двойного хеширования состоит в том, что при различных <tex> k </tex> пара <tex> (h_1(k),h_2(k)) </tex> дает различные последовательности ячеек для исследования.
==Простая реализация==
Пусть у нас есть некоторый объект <tex> item </tex>, в котором определено поле <tex> key </tex>, от которого можно вычислить хеш-функции <tex> h_1(key)</tex> и <tex> h_2(key) </tex>
Так же у нас есть таблица <tex> table </tex> величиной <tex> m </tex>, состоящая из объектов типа <tex> item </tex>.
===Вставка===
<pre>add(item)
x = h1(item.key)
y = h2(item.key)
for (i = 0; i < m; i++)
if table[x] == null
table[x] = item
return
x = (x + y) mod m
table.resize() //ошибка, требуется увеличить размер таблицы</pre>
===Поиск===
<pre>search(key)
x = h1(key)
y = h2(key)
for (i = 0; i < m; i++)
if table[x] != null
if table[x].key == key
return table[x]
else
return null
x = (x + y) mod m
return null</pre>
==Реализация с удалением==
Что бы наша хеш-таблица поддерживала удаление, требуется добавить массив <tex>deleted</tex> типов <tex>bool</tex>, равный по величине массиву <tex>table</tex>. Теперь при удалении мы просто будем помечать наш объект ''как удалённый'', а при добавлении как ''не удалённый'' и замещать новым добавляемым объектом. При поиске, помимо равенства ключей, мы смотрим, удалён ли элемент, если да, то идём дальше.
===Вставка===
<pre>add(item)
x = h1(item.key)
y = h2(item.key)
for (i = 0; i < m; i++)
if table[x] == null || deleted[x]
table[x] = item
deleted[x] = false
return
x = (x + y) mod m
table.resize() //ошибка, требуется увеличить размер таблицы</pre>
===Поиск===
<pre>search(key)
x = h1(key)
y = h2(key)
for (i = 0; i < m; i++)
if table[x] != null
if table[x].key == key && !deleted[x]
return table[x]
else
return null
x = (x + y) mod m
return null</pre>
===Удаление===
<pre>remove(key)
x = h1(key)
y = h2(key)
for (i = 0; i < m; i++)
if table[x] != null
if table[x].key == key
deleted[x] = true
else
return
x = (x + y) mod m</pre>
==См. также==
* [[Хеширование_кукушки|Хеширование кукушки]]
* [[Поиск_свободного_места_при_закрытом_хешировании|Поиск свободного места при закрытом хешировании]]
== Литература ==
* Бакнелл Дж. М. '''Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi''', ''2003''
* Кнут Д. Э. '''Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск''', ''2-е издание, 2000''
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. '''Алгоритмы. Построение и анализ''', ''2010''
* Седжвик Р. '''Фундаментальные алгоритмы на C. Части 1-4. Анализ. Структуры данных. Сортировка. Поиск''', ''2003''
==Ссылки==
* [http://enwww.wikipedia.org/wiki/Double_hashing Wikipedia {{---}} Double_hashing]* [http://raincs.ifmocmu.ruedu/catafs/view.phpcs/visacademic/hashtablesclass/hash15451-2001-2 Пример хеш таблицы]* [http://research.cs.vt.edus07/AVresearchwww/hashinglecture_notes/doublelect0215.php Пример хеш таблицы с двойным хешированиемpdf Universal and Perfect Hashing]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Хеширование]]
