Изменения
Нет описания правки
Данная статья писалась на основе брошюры Хана, посвященной этой сортировке.
== Алгоритм Описание ==
Алгоритм построен на основе экспоненциального поискового дерева (далее {{---}} ЭП-дерево) Андерсона (Andersson's exponential search tree). Сортировка происходит за счет вставки целых чисел в ЭП-дерево.
Набор <tex>S1</tex> < <tex>S2</tex> если <tex>\max(S1) \le \min(S2)</tex>
==Собственно сортировка с использованием O(nloglogn) времени и памяти==
Теперь рассмотрим проблему упаковки, которая решается следующим образом. Считается, что число бит в контейнере <tex>\log m \ge \log\log\log n</tex>, потому, что в противном случае можно использовать radix sort для сортировки чисел. У контейнера есть <tex>h/ \log\log n</tex> хешированных значений (сегментов) в себе на уровне <tex>\log h</tex> в ЭП-дереве. Полное число хешированных бит в контейнере <tex>(2 \log n)(c \log\log n)</tex> бит. Хотя хешированны биты в контейнере выглядят как <tex>0^{i}t_{1}0^{i}t_{2} \ldots t_{h/ \log\log n}</tex>, где <tex>t_{k}</tex>-ые это хешированные биты, а нули это просто нули. Сначала упаковываем <tex>\log\log n</tex> контейнеров в один и получаем <tex>w_{1} = 0^{j}t_{1, 1}t_{2, 1} \ldots t_{\log\log n, 1}0^{j}t_{1, 2} \ldots t_{\log\log n, h/ \log\log n}</tex> где <tex>t_{i, k}</tex>: <tex>k = 1, 2, \ldots, h/ \log\log n</tex> из <tex>i</tex>-ого контейнера. Ипользуем <tex>O(\log\log n)</tex> шагов, чтобы упаковать <tex>w_{1}</tex> в <tex>w_{2} = 0^{jh/ \log\log n}t_{1, 1}t_{2, 1} \ldots t_{\log\log n, 1}t_{1, 2}t_{2, 2} \ldots t_{1, h/ \log\log n}t_{2, h/ \log\log n} \ldots t_{\log\log n, h/ \log\log n}</tex>. Теперь упакованные хеш биты занимают <tex>2 \log n/c</tex> бит. Используем <tex>O(\log\log n)</tex> времени чтобы распаковать <tex>w_{2}</tex> в <tex>\log\log n</tex> контейнеров <tex>w_{3, k} = 0^{jh/ \log\log n}0^{r}t_{k, 1}O^{r}t_{k, 2} \ldots t_{k, h/ \log\log n} k = 1, 2, \ldots, \log\log n</tex>. Затем используя <tex>O(\log\log n)</tex> времени упаковываем эти <tex>\log\log n</tex> контейнеров в один <tex>w_{4} = 0^{r}t_{1, 1}0^{r}t_{1, 2} \ldots t_{1, h/ \log\log n}0^{r}t_{2, 1} \ldots t_{\log\log n, h/ \log\log n}</tex>. Затем используя <tex>O(\log\log n)</tex> шагов упаковать <tex>w_{4}</tex> в <tex>w_{5} = 0^{s}t_{1, 1}t_{1, 2} \ldots t_{1, h/ \log\log n}t_{2, 1}t_{2, 2} \ldots t_{\log\log n, h/ \log\log n}</tex>. В итоге используем <tex>O(\log\log n)</tex> времени для упаковки <tex>\log\log n</tex> контейнеров. Считаем что время потраченное на один контейнер {{---}} константа.
==Уменьшение числа бит в числах==
Один из способов ускорить сортировку {{---}} уменьшить число бит в числе. Один из способов уменьшить число бит в числе {{---}} использовать деление пополам (эту идею впервые подал van Emde Boas). Деление пополам заключается в том, что количество оставшихся бит в числе уменьшается в 2 раза. Это быстрый способ, требующий <tex>O(m)</tex> памяти. Для своего дерева Андерссон использует хеширование, что позволяет сократить количество памяти до <tex>O(n)</tex>. Для того, чтобы еще ускорить алгоритм нам необходимо упаковать несколько чисел в один контейнер, чтобы затем за константное количество шагов произвести хеширование для всех чисел хранимых в контейнере. Для этого используется хеш функция для хеширования <tex>n</tex> чисел в таблицу размера <tex>O(n^2)</tex> за константное время, без коллизий. Для этого используется хеш модифицированная функция авторства: Dierzfelbinger и Raman.
Алгоритм: Пусть целое число <tex>b \ge 0</tex> и пусть <tex>U = \{0, \ldots, 2^b - 1\}</tex>. Класс <tex>H_{b,s}</tex> хеш функций из <tex>U</tex> в <tex>\{0, \ldots, 2^s - 1\}</tex> определен как <tex>H_{b,s} = \{h_{a} \mid 0 < a < 2^b, a \equiv 1 (\bmod 2)\}</tex> и для всех <tex>x</tex> из <tex>U: h_{a}(x) = (ax</tex> <tex>\bmod</tex> <tex>2^b)</tex> <tex>div</tex> <tex>2^{b - s}</tex>.
Данный алгоритм базируется на <b>лемме №1</b>.
Взяв <tex>s = 2 \log n</tex> получаем хеш функцию <tex>h_{a}</tex> которая захеширует <tex>n</tex> чисел из <tex>U</tex> в таблицу размера <tex>O(n^2)</tex> без коллизий. Очевидно, что <tex>h_{a}(x)</tex> может быть посчитана для любого <tex>x</tex> за константное время. Если упаковать несколько чисел в один контейнер так, что они разделены несколькими битами нулей, спокойно применяется <tex>h_{a}</tex> ко всему контейнеру, а в результате все хеш значения для всех чисел в контейере были посчитаны. Заметим, что это возможно только потому, что в вычисление хеш знчения вовлечены только (<tex>\bmod</tex> <tex>2^b</tex>) и (<tex>div</tex> <tex>2^{b - s}</tex>).
Такая хеш функция может быть найдена за <tex>O(n^3)</tex>.
Следует отметить, что несмотря на размер таблицы <tex>O(n^2)</tex>, потребность в памяти не превышает <tex>O(n)</tex> потому, что хеширование используется только для уменьшения количества бит в числе.
==Signature sorting==
