Изменения

Рассмотрим <wikitextex>Рассмотрим $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ </tex> и ее разбиение $<tex>\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b$</tex>

'''Вариацией''' функции $<tex>f$ </tex> по разбиению $<tex>\tau$ </tex> называется $<tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|$</tex>.<br>'''Полной вариацией''' называется $<tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)$</tex>.<br>$<tex>f$ </tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если $<tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty$</tex>.<br>Класс функций ограниченной вариации обозначается как $<tex>\bigvee(a, b)$</tex>.

Пусть $<tex>f$ </tex> монотонно не убывает, тогда она ограниченной вариации.

По определению неубывания, $<tex>|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)$</tex>, тогда вариация равна $<tex>f(b) - f(a)$</tex>, то есть конечна. Аналогично с не возрастающей функцией.

Пусть $<tex>f'$ </tex> опредлена на $<tex>(a, b)$ </tex> и ограничена, тогда $<tex>f$ </tex> — функция ограниченной вариации.

$<tex>f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty$</tex>

Возьмем $<tex>f(x) = x \sin(\frac 1x), x \int [0; 1], f(0) = 0$</tex>

Пусть $<tex>f(x) \in \bigvee(a, c)$ </tex> и $<tex>b \in [a, c]$</tex>, тогда $<tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f)$</tex>.

1) Рассмотрим разбиения $<tex>\tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c$</tex>.$ <tex> \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c $</tex>.

По определению полной вариации, $<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)$</tex>

$ <tex> \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) - 2 \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) = \bigvee\limits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) \le \bigvee\limits_a^c(f) $</tex>

Устремляя $<tex>\varepsilon$ </tex> к 0, получаем $ <tex> \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) \le \bigvee\limits_a^c (f)$</tex>.2) Для любого $<tex>\varepsilon > 0 \exists \tau \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau)$</tex>. Однако в это разбиение может не войти точка $<tex>b$ </tex> в это разбиение, поэтому получим из него разбиение $<tex>\tau' : a=x_0 < \dots < x_p = b < x_{p+1} < \dots < x_{p+m} = c$</tex>. Пусть $<tex>\tau_1$ </tex> — разбиение $<tex>a=x_0 < \dots x_p=b$</tex>, а $<tex>\tau_2$ </tex> — разбиение $<tex>x_p = b \dots x_{p+m} = c$</tex>. Тогда:

$<tex>\bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^c (f, \tau') \le \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $</tex>.

Устремляя $<tex>\varepsilon$ </tex> к 0, получим $ <tex> \bigvee\limits_a^c (f) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $</tex>. Объединяя этот результат с результатом 1 пункта, приходим к требуемому равенству.

Если $<tex>f$ </tex> — функция ограниченной вариации ($<tex>f \in \bigvee(a, b)$</tex>), то ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ($<tex>f = f_1 - f_2$</tex>).

Возьмем в качестве $<tex>f_1$ </tex> функцию $<tex>f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)$</tex>, тогда по аддитивности она будет не убывать.Определим как $<tex>f_2$ </tex> функцию $<tex>f_2(x) = f_1(x) - f(x)$</tex>. Докажем, что она монотонно не убывает.$<tex>a < x_1 < x_2 < b$</tex>. Надо доказать, что $<tex>f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)$</tex>, или что $<tex>f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$ </tex> (используем утверждение 1).Но действительно, $<tex>abacaba f(x_2) - f(x_1) \le | f(x_2) - f(x_2x_1) | \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$</tex>, ч. т. д.