1679
правок
Изменения
WAT
{{TODO|t=читай@рефакторь}}
<tex>\frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos n\alpha + b_n \sin n\alpha) = \sigma(f, x)</tex>
<tex>a_n \cos nx + b_n\sin nx = r_n \cos(nx + \phi_n)</tex>, где <tex>r_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}</tex>
<tex>|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le r_n</tex>
Если <tex>f\in C</tex>, то по [[теорема Фейера|теореме Фейера]], в <tex>L_p</tex>, суммы Фейера <tex>\sigma_n(f) \rightrightarrows f</tex>.
Другим языком, ряд Фурье будет суммироваться к <tex>f</tex> методом средних арифметических равномерно.
Значит, согласно [[Суммирование_расходящихся_рядов#теорема Харди|теореме Харди]], учитывая последнее неравенство, если <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2 \le \frac Mn</tex>,
то <tex>s_n(f) \rightrightarrows f</tex>, то есть, ряд фурье будет равномерно сходиться к функции <tex>f</tex>.
Тогда <tex>E_n(f)_C = \|f - T_n\|_C</tex>, <tex>s_n(T_n, x) = T_n(x)</tex>
Значит, <tex>s_n(f, x) - f(x) = (s_n(f,x)-T_n(x)) + (T_n(x) - f_n(x)) + s_n(T_n, x)</tex>
<tex>= s_n(f - T_n, x) + T_n(x) - f(x) </tex> [применяя интеграл Дирихле]
<tex>= \int\limits_Q (f(x + t) - T(x + t))D_n(t) dt + (T_n(x) - f(x)</tex>
Поэтому, <tex>|f_n(f, x) - f(x)|</tex>
<tex>\le \int\limits_Q |f(x+t) - T_n(x+t)| \cdot |f_n(t)| dt + |T_n(x) - f(x)|</tex>
Итого: <tex>\|s_n(t) - f\|_C \le \int\limits_Q |D_n(t)| dt ? \|f-T_n\| + \|f-T_n\|_C</tex>
<tex>= \left(\int\limits_Q \|D_n(t)\| dt + 1\right) E(f)_C</tex>
<tex>\|s_n(f(x)-f\|_C \le (e_n + 1) E_n(f)_C</tex>, <tex>E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>(по теореме Вейерштрасса)
Если <tex>e_nE_n(f)_C \to 0</tex>, то <tex>\|f_n(x) - f\|_C \to 0 </tex> <tex>\iff</tex>
<tex>f_n(t) \rightrightarrows f </tex> на <tex>\mathbb{R}</tex>.
Так как <tex>e_n ~ \sim \ln n</tex>, приходим к очередному признаку:
{{Утверждение
|statement=<tex>E_n(t)_C\ln n \to 0 \Rightarrow \sigma(f)</tex> равномерно сходится к <tex>f</tex>
}}
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
|proof=
Рассмотрим функцию <tex>f \in \bigvee</tex>, <tex>f</tex> {{---}} разность двух возрастающих, значит, каждая её точка
регулярна. По следствию из теоремы Фейера, <tex>\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}</tex>.
С другой стороны, для таких функций <tex>nx|a_n(t)| \le \frac Mn</tex> Значит, соответственно, то есть <tex>r_n^2 \le \frac {M_1}{n^2}</tex>.
Значит, <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2</tex>
<tex>\le \sum\limits_{k=n}^\infty \frac{M_1}{nk^2}</tex><tex>< M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty \frac1{nk(nk-1)}</tex><tex>= M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty (\frac1{k-1} - \frac1k)</tex><tex>= \frac{MM_1}{n - 1}</tex>
Получилось условие теоремы Харди, в силу которой начнёт сходиться ряд Фурье в точке <tex>x</tex>
}}
{{Теорема
|proof=
Мы оцениваем <tex>\sum r_n^2</tex>, которое не зависит от <tex>x</tex>. Соединим прошлые результаты параграфа с
ограниченной вариацией.
{{TODO|t=Типа, вот оно и было?}}
{{TODO|t=эм, надо как-то прокомментировать, чтоли}}
}}
<tex>\sigma(f, \frac\pi2) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin \frac{(2m+1)\pi}{2}</tex>
<tex>= \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^m \frac1{2m+1}</tex>
<tex>= \frac4frac{\pi(2m+1)}{4}</tex>
===Пример===
<tex>= \frac{2}{\pi n}\int\limits_Q x d(\sin nx) </tex>
<tex>= \frac2{\pi n}\left(x\sin x \big|_0^\pi - \int\limits_0^\pi \sin nx dx \right)</tex>
<tex>= \frac2{\pi n^2 [???? wtf why n^2?] } \cos nx \big|_0^\pi</tex>
<tex>= \frac2{\pi n^2} ((-1)^n - 1)</tex>
<tex>= \begin{cases}
0 &, n = 2m, m \in \mathbb{Z}\\
-\frac{n4}{\pi n^2} &, n = 2m+1, m \in \mathbb{Z}\\
\end{cases}
</tex>; <tex>a_0 = \frac2\pi \int\limits_0^\pi x dx</tex><tex>\frac2\pi \frac{\pi^2}2 = \pi</tex>
На <tex>\langle-\pi; \pi\rangle</tex>, <tex>|x| = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\cos(2m+1)x}{(2m+1)^2}</tex>
<tex>x = 0: \frac{\pi^2}8 = \sum\limits_{m=0}^\infty \frac1{(2m+1)^2}= \frac{\pi^2}8</tex>
