1679
правок
Изменения
Нет описания правки
По свойствам интеграла, меняя местами значки интеграла и конечного суммирования, получим
<tex>\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}(\cos{kt}\cos{kx}+\sin{kt}\sin{kx})dt)=</tex>
<tex>\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{k(x-t)})dt</tex>.
{{Определение
|definition=
Домножим это выражение на <tex>\sin{\frac{t}{2}}</tex>:
<tex>\sin{\frac{t}{2}}D_n(t) = \frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt} \sin{\frac{t}{2}})=</tex>
<tex>\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}(\sin{(k+\frac{1}{2})t}-\sin{(k-\frac{1}{2})t}))=</tex>
<tex>\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}(\sin{(n+\frac{1}{2})t}-\sin{\frac{t}{2}}))=</tex> <tex>\frac{1}{2\pi}\sin{(n+\frac{1}{2})t}</tex>
Разделив обе части на <tex>\sin{\frac{t}{2}}</tex>, получим требуемую формулу.
}}
Используя эту формулу, можно записать: <tex dpi="140">S_n(f,x)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+t)\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(kn+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt=</tex> (пользуясь четностью ядра и линейностью интеграла)
<tex>=\int\limits_{-\pi}^{0}+\int\limits_{0}^{\pi}=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t))D_n(t)dt</tex>
