1679
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1 \cos{nx}dx = 0</tex>.
<tex>\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx + \int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1\cos{nx}dx = </tex>
<tex> = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>.
Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1||\cos nx| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| = </tex>
</tex> = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>.
По обобщенной теореме Вейерштрасса, <tex>E_{n-1}(f)_1 \to 0</tex>, следовательно, <tex>a_n(f) \to 0</tex>.
Пусть <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}f < +\infty</tex>, тогда <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\cos(px) \to 0</tex> при <tex>p \to \infty</tex>.
|proof=
}}
<tex> \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x+t) \frac1{\sin \frac{t}2} (\cos \frac{t}2 \sin nt + \sin \frac{t}2 \cos nt) dt = </tex>
<tex> = \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x +t) ctg \frac{t}2 \sin t dt + \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x + t) \cos nt dt )</tex>.
Так как функции <tex> f(x+t) ctg \frac{t} 2 </tex> и <tex> f(x+t) </tex> суммируемы на <tex> (-\pi; -\delta) </tex>, то оба интеграла стремятся к нулю при <tex> n \to \infty </tex>. Аналогично поступаем с тремя остальными частями разности.
}}
