1679
правок
Изменения
→18 У словие существования интеграла Стилтьесса
= 18 У словие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$). {{TODOОпределение|t definition='''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = пилим\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$.<br>Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.}} Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.</wikitex>{{Теорема|about=Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса|statement=<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.}}
= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
