689
правок
Изменения
м
→Следствие о четырех пределах: не люблю кванторы в нерукописных конспектах
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и , а также существуют <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, и <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
|proof=
''Примечание'': Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке <tex>x</tex> у <tex>f</tex> есть производная.
Первое слагаемое стремится на бесконечности к <tex>\alpha</tex>, второе {{---}} к <tex>\beta</tex>.
Значит, <tex>\frac{|\varphi_x(t)|}t</tex> ограничена справа от нуляи суммируема, а значитто есть, суммируемаятеорема Дини применима.
}}
