689
правок
Изменения
м
Свойства Напомним совершенно очевидные свойства функций ограниченной вариации{{TODO|t=ЭТО, НАВЕРНОЕ, НАДО ПЕРЕНЕСТИ В ВАРИАЦИИ?}}:
ПримерПусть <tex> f = \begin{cases} 0, & x \in [0; 1) \\ 1, & x \in [1; 2] \end{TODO|tcases}, g =понять и запилить пример\begin{cases}0, & x \in [0; 1] \\ 1, & x \in (1; 2] \end{cases}</tex>. Тогда на отрезке <tex> [0; 1] </tex> все <tex> \Delta g_k = 0 </tex>, <tex> \int\limits_0^1 f dg = 0 </tex>; на отрезке <tex> [1; 2] </tex> все <tex> \Delta g_k </tex> = 0, кроме <tex> \Delta g_0 = 1</tex>, <tex> \int\limits_1^2 f dg = f(x_0) \Delta g_0 = 1 </tex>. Можно непосредственно убедиться, что оба интеграла существуют. Но на отрезке <tex> [0; 2] </tex> всегда можно предъявить сколь угодно мелкое разбиение, содержащее две точки <tex> x_p, x_{p + 1} </tex> по разные стороны от единицы, значит, <tex> \omega (f, g, \tau) = 1</tex> не стремится к нулю.
Нет описания правки
}}
# $f, g \in V(a, b) \Rightarrow \alpha f + \beta g \in V(a, b) $
# $f, g \in V(a, b) \Rightarrow f g \in V(a, b) $
Теперь перенесем все это определение интеграла Римана-Стилтьеса на $g \in V(a, b)$:
$ g \in V(a, b)$, $g = g_1 - g_2$, $\int\limits_a^b f dg \stackrel {def}{=} = (def) \int\limits_a^b f dg_1 - \int\limits_a^b f dg_2$. Заметим, причем он что определенный таким образом интеграл не должен зависеть зависит от выбора $g_1$ и $g_2$, только от их разности.
Интеграл Римана-Стилтьеса обладает линейностью и аддитивностью, а также линейностью по весовой функции: $ \int\limits_a^b f d(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha \int\limits_a^b f dg_1 + \beta \int\limits_a^b f dg_2 $.
# $ \exists \int\limits_a^b f dg, \exists \int\limits_a^c f dg, \exists \int\limits_b^c f dg \Rightarrow \int\limits_a^c = \int\limits_a^b + \int\limits_b^c $
# $ \exists \int\limits_a^d \Rightarrow \exists \int\limits_b^c$, где $ [b, c] \in [a, d]$.
# Для интеграла Римана из существования $\int\limits_a^b $ и $\int\limits_b^c$ следует существование $\int\limits_a^c$. Для интеграла Римана-Стилтьеса в общем случае это '''неверно.''':
== Формула интегрирования по частям ==
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
|proof=
$\omegasigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{i=0}^{n-1} f(\xi_k) (g(x_{k + 1}) - g(x_k)) = \\
\sum\limits_{i=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_{k+1}) - \sum\limits_{i=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_k) = \\
\sum\limits_{j=1}^n f(\xi_{j-1}) g(x_j) - \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_k) = \\
= f(\xi_{n-1}) g(x_n) - f(\xi_0) g(x_0) + \sum\limits_{j=1}^{n-1} g(x_j) (f(\xi_{j - 1}) - f(\xi_j)) = \\= f(\xi_{n-1}) g(x_n) - f(\xi_0) g(x_0) - \sum\limits_{j=1}^{n-1} g(x_j) (f(\xi_j) - f(\xi_{j-1})) $ .
Так как интегралы существуют, точки $\xi_j$ можно выбирать как угодно. Примем $\xi_0 = x_0 = a, \xi_{n-1} = x_n = b, \xi_j = x_j, \xi_{j-1} = x_{j-1}$.
Получим $f(x)g(x) \bigl |_a^b - \sigma(g, f, \tau')$. Устремляя $\tau$ к нулю, получим нужную формулу. Из доказательства видно, что нужно только требование существования хотя бы одного их из интегралов.
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть $g'$ непрерывна на $[a, b]$ и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$/.
|proof=
Из предыдущего утверждения, $g'$ — функция ограниченной вариации, следовательно, $\int\limits_a^b f dg$ существует. Распишем ее интеграл Стилтьеса:$\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g(x_{k+1}) - g(x_k)) =$ (по формуле Лагранжа) $= \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g'(\xi'_k) \Delta x_k $(по формуле Лагранжа) $ = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g'(\xi_k) \Delta x_k + \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k $.
Первое слагаемое правой части в пределе дает $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx $. Рассмотрим вторую часть:
За счет равномерной непрерывности $g'$, если $\operatorname{rang} \tau < \delta $ и $\xi_k, \xi'_k \in [x_k, x_{k+1}]$, следовательно, то $|g'(\xi_k) - g'(\xi'_k)| < \varepsilon$.
$ \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} M \varepsilon \Delta x_k = M (b - a) \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{} 0$.
}}
