Изменения

<tex> \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex>

<tex> |a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le |a_n| + |b_n| </tex>

Если <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex> сходится, то тригонометрический ряд также будет сходящимся.

Рассмотрим, например, <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin (\pi n! x), x_k = \frac{\pi}{k!}</tex>, тогда при <tex> n \ge k, : \sin(\pi n! x_k) = \sin(\pi n (n - 1) \dots (k + 1)) = 0</tex>, то есть ряд абсолютно сходится. Однако, <tex> b_{n!} = 1</tex>, и ряд из коэффициентов расходится. \

<tex> a_n \cos nx + b_n \sin nx = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \cos (nx + \phi_nvarphi_n)</tex>

<tex> \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \le |a_n| + |b_n| \le \sqrt 2 \sqrt{a_n^2 + b_n^2}</tex>, следовательно, ряды <tex> \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex> и <tex> \sum\limits_1^{\infty} \sqrt{a_n^2 + b_n^2}) </tex> равносходятся.

Пусть тригонометрический ряд сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, то есть следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся.

<tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n |\cos (nx + \varphi_n)| </tex> — сходится для любого <tex> x </tex> в <tex> A</tex>, где <tex> \lambda A > 0</tex>.

<tex> r_n \cos^2(nx + \varphi_n) \le r_n |\cos(nx + \varphi_n)|</tex>

<tex> \alpha(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \cos^2(nx + \varphi_n) </tex> — измеримо и конечно на <tex> A</tex>.

Тогда <tex> \exists A_0 \subset A: \lambda A_0 > 0, \alpha(x) </tex> — ограничено на <tex> A_0</tex>

<tex> A = \cupbigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A(0 \le \alpha(x) \le n), \lambda A > 0 \Rightarrow \lambda A_n \to \lambda A \rightarrow \exists n_0 : \lambda A_{n_0} > 0</tex>

На <tex> A_0 \alpha </tex> — суммируема, по [[теореме Б. Леви ]] ряд можно почленно интегрировать.

<tex> \int\limits_{A_0} \alpha(x) dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \cos^2(nx + \varphi_{n, x}) </tex> = {{TODO|t=какого фига зависимость \phi от x появилась?}}

<tex> = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \frac{1 + \cos(2nx + 2\varphi_{n, x}}{2}) = </tex>

<tex> = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac12 r_n \left( \lambda A_0 + \int\limits_{A_0} \cos(\varphi_{n,x}) \cos (2nx) - \int\limits_{A_0} \sin(\varphi_{n,x}) \sin (2nx) \right)</tex>. Оба интеграла стремятся к нулю по [[лемме Римана-Лебега]], следовательно, разность этих интегралов с некоторого номера больше - <tex> \frac12 \lambda A_0 </tex> , а значит, <tex> n</tex>-е слагаемое ряда больше <tex> \frac12 r_n \rfac12 frac12 \lambda A_0</tex>. Значит, из сходимости исходного ряда по признаку сравнения следует сходимость <tex> \sum\limits_1^{\infty} r_n</tex>.

Таким образом, отождествили сходимость рядов <tex> \sum\limits_1^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> и <tex> \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|)</tex>.

<tex> f \in L_2, \sum\limits_1^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty</tex>

<tex> E_n^2(f)_2 = \pi \sum\limits_{k=n+1)}^{\infty} (a_k^2 (f) + b_k^2 (f))</tex>. Докажем, что <tex> \sum \sqrt{a_k^2 + b_k^2) } < + \infty </tex> в условиях теоремы <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits{k = n}^{\infty} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} = </tex>

<tex> \sum\limits_{k=1}^{\infty} \sum\limits{n = 1}^{k} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} \le </tex> (используем [[неравенство Коши для сумм]])

<tex> \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12}</tex>

Выражение под первой суммой равно <tex> E_{n-1}(f)_{L_2}</tex>, вторая сумма <tex> \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k}\frac1{k-1} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k-1} - \frac1k \right)^{\frac12} \xrightarrow[k \to \infty]{} (\frac1n)^{\frac12}</tex>

Таким образом, <tex> < \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty</tex>, таким образом, ряд из <tex> r_n </tex> сходится.