223
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Пусть <tex>T_{n-1}(f)_1</tex> {{---}} полином наилучшего приближения функции <tex>f</tex>, степени, не большей <tex>n-1</tex>, в пространстве <tex>L_1</tex>.
Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{mn-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то, по свойству тригонометрических функций, выполняется:
<tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1 \cos{nx}dx = 0</tex>.
<tex> = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>.
Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1||\cos nx| dx \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| dx = </tex>
<tex> = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>.
}}
Следует иметь в виду, что <tex>\int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> не стремится к 0, поэтому грубая оценка, что <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> ни к чему не ведет. То, что лемма Римана-Лебега была написана для <tex>2\pi</tex>-периодичных функций не имеет принципиального значения, так как на самом деле справедлив общий факт:
{{Лемма
Пусть <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}|f| < +\infty</tex>, тогда <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\cos(px) \to 0</tex> при <tex>p \to \infty</tex>.
|proof=
На самом деле обе леммы равносильны.
# Первая получается из второй, если подставить <tex>f = 0</tex> вне отрезка <tex>Q</tex>.
# В обратную сторону: вне конечного отрезка функция стремится к нулю, а на конечном можно сжать интервал интегрирвания в <tex> [-\pi; \pi] </tex>.
