Изменения

=== Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками === {{Определение|definition=Пусть дан ряд <tex> \sum_{k = 1}{\infty} a_k </tex> и строго возрастающая последовательность целых чисел <tex> \{ n_j \} _{j = 0}^{\infty}, \ n_0 = 0 </tex>. Положим <tex> A_j = \sum_{k = n_j + 1}^{n_j+1} a_j, \ j \in \mathbb{Z}_{+} </tex>. Тогда говорят, что ряд <tex> \sum_{j = 0}^{\infty} </tex> получен из первого ряда '''группировкой членов''' (расстановкой скобок).}} {{Теорема|about=О группировке слагаемых ряда|statement=1. Если <tex> \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = S </tex> ( <tex> S \in \overline{\mathbb{R}} \cup \{ \infty \} </tex> или <tex> \mathbb{C} \cup \{ \infty \} </tex> ), то и <tex> \sum_{j = 0}^{\infty} A_j = S </tex>. 2. Если <tex> \sum_{j = 1}^{\infty} A_j = S </tex> ( <tex> S \in \overline{\mathbb{R}} \cup \{ \infty \} </tex> или <tex> \mathbb{C} \cup \{ \infty \} </tex> ), <tex> a_n \to 0 </tex>, и существует такое <tex> L \in \mathbb{N} </tex>, что каждая группа содержит не более <tex> L </tex> слагаемых, то и <tex> \sum_{k = 0}^{\infty} a_k = S </tex>. 3. Если <tex> a_k </tex> вещественны, <tex> \sum_{j = 0}^{\infty} A_j = S \in \overline{\mathbb{R}}</tex>, а члены в каждой группе одного знака, то и <tex> \sum_{k = 0}^{\infty} a_k = S </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 106-107}} Замечание: из пункта 1 следует, что если ряд после расстановки скобок расходится, то расходится и исходный ряд. Если же ряд после расстановки скобок сходится, то про поведение исходного ряда ничего сказать нельзя. Однако, если при этом выполнены условия 2 или 3, то можно сделать и обратное заключение. (это вообще то?)