223
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Пусть <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> {{---}} ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex> сходится. Если <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a</tex>, то <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 </tex>.
|proof=
Возьмём <tex>A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j</tex>. По определению, сходимость ряда <tex>A_n\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j</tex> равносильна существованию предела <tex>A_n</tex>. Так как пространство {{---}} Гильбертово, то есть полное, значит сходимость равносильна сходимости <tex>A_n</tex> в себе. Значит, <tex>\lim\limits_{n, m \to \infty} A_n - A_m \to = 0 \iff </tex>, что равносильно <tex> \|A_n - A_m\| \to 0 </tex>.
Пусть <tex> m > n </tex>. <tex>A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j</tex>.
По критерию Коши сходимости числовых рядов <tex>\sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2 \to 0 \iff \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2 < \infty</tex>
Итак, мы установили, что сходимость ортогонального ряда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex>.
<tex>a = \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \Rightarrow \langle a, a \rangle = \langle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j, \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \rangle \Rightarrow \| a \| = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|</tex>
