223
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Основываемся на том, что тригонометрический полином {{---}} ряд Фурье самого себя. Запишем его через интеграл Дирихле.
<tex>T_n(x) = \int\limits_Q T_n(t)D_n(x-t) dt = \int\limits_Q T_n(t)D_n(t-x)dt</tex>
Дифференцируем по <tex>x</tex>. Интеграл дифференцировать можно, так как промежуточный интеграл конечен, а под интегралом {{---}} тригонометрический полином.
Итого: <tex>\Phi_n(t) = \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n\left(1-\frac{j}{n+1}\right)\cos jt</tex>
<tex>G(t) = \frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{n-1} k \sin (2n -k)t</tex> Это тот полином, который можно подставить в интеграл.
<tex>T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t)(-\frac1\pi)\left( \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin(2n-k)t \right) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi(n\sin nt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k(\sin kt+\sin(2n-k)t)) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi \left(n\sin t nt + 2\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin nt + \cdot \cos (n-k)t\right) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(k+t)\frac{2n}\pi\sin nt \left(\frac12 + \frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\cos(n-k)t\right) dt</tex> <tex>=-\int\limits_Q T_n(x+t)\frac{2n}\pi \sin nt \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{n-j}n \cos jt\right) dt</tex>
Итого: <tex>T'_n(x) = -2n\int\limits_QT_n(x+t)\sin nt \Phi_{n-1}(t)dt</tex>
