689
правок
Изменения
WARNING: поменял условие последней теоремы
Интеграл Римана-Стилтьеса строится аналогично [[Определение_интеграла_Римана,_простейшие_свойства|интегралу Римана]]:
Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убываетмонотонно неубывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. , так как $g$ не убываетмонотонно неубывает, $\Delta g_k \ge 0$).
{{Определение
{{Утверждение
|statement=
Пусть $f$ и $g'$ непрерывна непрерывны на $[a, b]$ , и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$.
|proof=
Из предыдущего утверждения, $g$ — функция ограниченной вариации, следовательно, $\int\limits_a^b f dg$ существует. Распишем ее интеграл Стилтьеса:
За счет равномерной непрерывности $g'$, если $\operatorname{rang} \tau < \delta $ и $\xi_k, \xi'_k \in [x_k, x_{k+1}]$, то $|g'(\xi_k) - g'(\xi'_k)| < \varepsilon$.
$ \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} M \varepsilon \Delta x_k = M (b - a) \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{} 0$.
}}
