Изменения

Предположим, что [[ДНФ]] <tex>C</tex> распознает язык <tex>\oplus</tex>. Каждый [[ДНФ|конъюнкт]] <tex>C</tex> зависит от всех входных значений. В противном случае допустим, что некоторый конъюнкт <tex>C</tex> не зависит от значения <tex>x_i</tex>. Тогда можно подобрать такие входные значения, при которых значение этого конъюнкта (а значит и <tex>C</tex>) будет равно <tex>1</tex> и не зависить от значения <tex>x_i</tex>. Однако при различных значениях <tex>x_i</tex> значение <tex>C</tex> должно изменяться, так как <tex>C</tex> распознает <tex>\oplus</tex>. Значит, предположение неверно, поэтому каждый конъюнкт <tex>C</tex> зависит от всех входных значений. Предположим, что <tex>C</tex> состоит из конъюнктов <tex>A_1</tex>, ..., <tex>A_t</tex>. Тогда для случайного входа <tex>x \sim \left\{ 0, 1 \right\} ^n</tex> верно, что <tex>P\left[C(x)=1\right] \le \sum\limits^{t}_{i=1} {P\left[ A_i(x) = 1 \right]} \le t\cdot2^{-n}</tex>. Поскольку <tex>P\left[ \oplus(x) = 1\right] = \frac{1}{2}</tex>, то <tex>t \ge 2^{n - 1}</tex>. Аналогичный результат можно получить и для [[КНФ]].

Допустим, что схема из [[Классы NC и AC| класса]] <tex>\mathrm{AC^0}</tex> распознает язык <tex>\oplus</tex>. Оказывается, что с высокой вероятностью схему из класса <tex>\mathrm{AC^0}</tex> можно представить в виде <tex>k</tex>-КНФ или <tex>k</tex>-ДНФ, причем <tex>k</tex> не зависит от числа входов схемы. Для этого строится [[Теорема о непринадлежности XOR классу AC⁰#Технические подробности|итеративный процесс]], на каждом шаге которого некоторые случайно выбранные входные значения заменяются на случайные значения. Поскольку степень входа не ограничена, то рассмотрим содержательный случай, когда <tex>k</tex> меньше числа входов схемы. Если с вероятностью <tex>\frac{1}{2}</tex> входу полученной схемы назначается значение, то с вероятностью не менее <tex>\frac{1}{2^k}</tex> значение схемы будет постоянным. Поскольку эта вероятность больше нуля, то для произвольной схемы из класса <tex>\mathrm{AC^0}</tex> можно подобрать значения части входов так, чтобы значение функции было постоянным и не зависит от остальных входных значений, поэтому ни одна схема из этого класса не может распознавать язык <tex>\oplus</tex>.