403
правки
Изменения
→Корректность алгоритма
Покажем, что после окончания операции проталкивания утверждение верно. После выполнения операции <tex> push(u, v) </tex> в <tex> E_f </tex> может появиться ребро <tex> (v, u) </tex>, если до операции по ребру <tex> (u, v) </tex> протекал нулевой поток, или же ребро <tex> (u, v) </tex> может насытиться, и тогда оно перестанет принадлежать остаточной сети. В первом случае <tex> h(v) = h(u) - 1 < h(u) + 1 </tex>, и, следовательно, <tex> h </tex> остается функцией высоты. Во втором же случае при удалении ребра <tex> (u, v) </tex> из остаточной сети происходит лишь удаление соответствующих ограничений на высоты <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, так что <tex> h </tex> остается функцией высоты.
Теперь рассмотрим операцию подъема вершины <tex> u </tex>. По определению данной операции гарантируется, что после ее выполнения для любого ребра <tex> (u, v) \in E_f </tex> выполняется условие <tex> h(u) \leqslant h(v) + 1 </tex>, то есть все выходящие ребра удовлетворяют условиям, накладываемым на функцию высоты. Рассмотрим какое-то входящее ребро <tex> (w, u) </tex>. Так как до операции <tex> h </tex> являлась функцией высоты, то справедливо <tex> h(w) \leqslant h(u) + 1 </tex>. После подъема высота вершины <tex> u </tex> увеличивается как минимум на единицу, следовательно, после выполнения данной операции <tex> h(w) < h(u) + 1 </tex>. Таким образом, <tex> h </tex> и после выполнения операции <tex> relabel(u) </tex> остается функций высоты.
}}
