Изменения

Конечная группа

1550 байт добавлено, 02:16, 16 сентября 2010

Нет описания правки

{{Требует доработки

|item1=(исправлено)Не надо приводить таблицы умножения изоморфных групп. Группы, таблицы умножения которых приведены в статье, надо "расшифровать". Они все являются группами из примеров групп.

|item2=(исправлено)Надо убрать алгоритм построения.

|item3=(исправлено)Надо привести некоторые свойства конечных групп: все группы простого порядка <tex>p</tex> изоморфны <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>, в простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы. Свойства надо доказать.

}}

'''Структура'''

Пусть <math>\mathbb{A}_n</math> = <math>\{a_1,a_2,\dots,a_n\}</math> - — группа из n элементов.

Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:

}}

{{Утверждение

|statement=~~Все~~ В простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы ~~простого порядка <tex>p</tex> изоморфны <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>~~

|proof=

~~темп~~Рассмотрим элемент <tex>x\in G</tex> c порядком <tex>n</tex> и подмножество <tex>\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n—1}\rbrace</tex> (все <tex>x^k</tex> различны при <tex>k<n</tex> — в противном случае при <tex>x^k=x^m (m<k<n)\Rightarrow x^{k—m}=e</tex>, т.е. <tex>n>k—m</tex> не является порядком элемента <tex>x</tex>). Очевидно, <tex>\langle x\rangle</tex> — подгруппа <tex>G</tex>, изоморфная <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. Но порядок любой подгруппы делит порядок группы. Значит, и <tex>n</tex> делит порядок <tex>G</tex>.

}}

{{Утверждение

|statement=~~В простой группе порядок каждого элемента является делителем~~ Все группы простого порядка ~~группы~~<tex>p</tex> изоморфны <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>

|proof=

Рассмотрим элемент <tex>x\in G,\,x\neq e</tex> c порядком <tex>n</tex>~~. Тогда~~ и подмножество <tex>\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n—1}\rbrace</tex>(все <tex>x^k</tex> различны при <tex>k<n</tex> — см. выше). Очевидно, <tex>\langle x\rangle</tex> — подгруппа <tex>G</tex>, изоморфная <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. Но тогда <tex>n</tex> делит <tex>p</tex>(как порядок подгруппы) и не равняется единице(<tex>x^1\neq e</tex>), значит <tex>n=p</tex>. Раз порядок конечной подгруппы <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\subseteq G</tex> совпадает с порядком группы, то группа и подгруппа просто совпадают: <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\eqsim G</tex>.

}}

2) n = 2

{| border="1" cellpadding="4" align="center"

| <tex>\mathbb{Z}_2/2\mathbb{Z}</tex>

|-