Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Борувки

865 байт убрано, 00:43, 15 декабря 2012
Нет описания правки
Будем последовательно строить подграф <tex>F</tex> графа <tex>G</tex> ("растущий лес"), поддерживая следующий инвариант: на каждом шаге <tex>F</tex> можно достроить до некоторого MST. Начнем с того, что включим в <tex>F</tex> все вершины графа <tex>G</tex>. Теперь будем обходить множество <tex>EG</tex> в порядке увеличения веса ребер. Добавление очередного ребра <tex>e</tex> в <tex>F</tex> может привести к возникновению цикла в одной из компонент связности <tex>F</tex>. В этом случае, очевидно, <tex>e</tex> не может быть включено в <tex>F</tex>. В противном случае <tex>e</tex> соединяет разные компоненты связности <tex>F</tex>, тогда существует [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения|разрез]] <tex> \langle S, T \rangle </tex> такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа - вторую. Тогда <tex>e</tex> и есть минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из [[Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] следует, что <tex>F+e</tex> можно продолжить до MST, поэтому добавим это ребро в <tex>F</tex>.<br>
Несложно понять, что после выполнения такой процедуры получится остовное дерево, при этом его минимальность вытекает из леммы о безопасном ребре.
==Реализация==
'''Псевдокод второго прохода:
{| width = 100%
|-
|
dfs(<tex>v, c, parent</tex>)
для всех вершин u смежных v:
если (<tex>u</tex> родитель)
переходим к следующей итерации
если (<tex>u</tex> не посещена)
если (<tex>return[u] >= enter[v]</tex>)
<tex>c2 \leftarrow</tex> новый цвет
<tex>col[vu] \leftarrow c2</tex>
dfs(<tex>u, c2, v</tex>)
иначе
<tex>col[vu] \leftarrow c</tex>
dfs(<tex>u, c, v</tex>)
иначе:
если (<tex>enter[u] <= enter[v]</tex>)
<tex>col[vu] \leftarrow c</tex>
start()
для всех v вершин графа:
если (<tex>v</tex> не посещена)
dfs(<tex>v, -1, -1</tex>)
|width = "310px" |[[Файл:Vertex_doubleconnection_1.png‎‎|thumb|center|400px|Компоненты обозначены разным цветом]]
|}
 
<b>Вход</b>: граф <tex>G = (V, E)</tex><br>
<b>Выход</b>: минимальный остов <tex>F</tex> графа <tex>G</tex><br>
394
правки

Навигация