Изменения

Эта формула выводится из следующих соображений. Сначала мы "забываем" про то, что скобки бывают нескольких типов, и просто берём ответ из $d[2n - i - 1][{\rm ndepth}]$. Теперь посчитаем, как изменится ответ из-за наличия $k$ типов скобок. У нас имеется $2n - i - 1$ неопределённых позиций, из которых $\rm ndepth$ являются скобками, закрывающими какие-то из открытых ранее, — значит, тип таких скобок мы варьировать не можем. А вот все остальные скобки (а их будет $(2n - i - 1 - {\rm ndepth}) / 2$ пар) могут быть любого из $k$ типов, поэтому ответ умножается на эту степень числа $k$.

===Получение k-й последовательности===

Пусть теперь разрешён не один, а '''$k$ типов''' скобок. Тогда алгоритм решения будет отличаться от предыдущего случая только тем, что мы должны домножать значение $d[i + 1][\rm ndepth]$ на величину $k^{(2n - i - 1 - \rm ndepth) / 2}$, чтобы учесть, что в этом остатке могли быть скобки различных типов, а парных скобок в этом остатке будет только $2n - i - 1 - \rm ndepth$, поскольку $\rm ndepth$ скобок являются закрывающими для открывающих скобок, находящихся вне этого остатка (а потому их типы мы варьировать не можем).

== Источники ==