36
правок
Изменения
Нет описания правки
==Соотношения==
Равносильное определение получается, если числа Стирлинга задать как коэффициенты в разложении: <tex>(x)^{n} = \sum_{k=0}^n s(n,k) x^k,</tex>
Следовательно, числа Стирлинга 1-го рода позволяют перейти от базиса <tex>(x)^{1},(x)^{2},(x)^{3} \cdots</tex> к базису <tex>1,x,x^2 \cdots</tex>
Здесь <tex>(x)^{n}</tex> обозначим как возрастающие факториальные степени:
Как уже упоминалось ранее:
:<tex>s(0,0)=1</tex>
:<tex>s(n,0)=s(0,k)=0</tex>, в общем случае <tex>s(n,k)=0</tex>, если <tex>k > n</tex>
Также
:<tex>s(n,1)=(n-1)!</tex> :<tex>s(n,n)=1</tex> :<tex>s(n,n-1)={n \choose 2}</tex> :<tex>s(n,n-2)=\frac{1}{4} (3n-1) {n \choose 3}</tex>
:<tex>s(n,n-3)=1{n \choose 2}{n \choose 4}</tex>
==Связь между числами Стирлинга==Если числа Стирлинга 1-го рода позволяют перейти от базиса <tex>s(nx)^{1},(x)^{2},n-1(x)=^{n 3} \choose cdots</tex> к базису <tex>1,x,x^2}\cdots</tex>,
то числа Стирлинга 2-го рода играют обратную роль и позволяют перейти от базиса <tex>s(n1,x,n-x^2\cdots</tex> к базису <tex>(x)=\frac^{1},(x)^{42} ,(3n-1x) ^{n \choose 3}\cdots</tex>.
:<tex>\sum_{k=01}^n sS(n,k) s(k,m) (-1)^{k-m} = 1</tex>, если <tex>n!=m</tex>, иначе <tex>0</tex> — конечная сумма.
==См. также==
