668
правок
Изменения
Нет описания правки
'''Распределение Бернулли в теории вероятностей и математической статистике''' — <tex>{{---}}</tex> дискретное распределение вероятностей, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.
== Определение ==
{{Определение
|definition=
Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью <tex> p \in \mathbb (0, 1)</tex> , а неудача — с вероятностью <tex>q = 1 − p</tex>.
}}
Обозначим через <tex>v_{n} </tex> число успехов, случившихся в <tex>n</tex> испытаниях схемы Бернулли. Эта (случайная) величина может принимать целые значения от 0 до <tex>n</tex> в зависимости от результатов испытаний. Например, если все <tex>n>/tex> испытаний завершились неудачей, то величина <tex>v_{n} </tex> равна нулю.
{{Теорема
|id=th1
|statement=
Для любого <teex>k = 0, 1, . . . , n </tex> вероятность получить в <tex>n </tex>испытаниях <tex>k </tex> успехов равна P(<tex>P(v_{n} = k </tex> = k) = <tex>\binom{n}{k}</tex> <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex> Набор вероятностей называется биномиальным распределением вероятностей.
|proof=
Событие A = {<tex> A = v_{n} </tex> = k} означает, что в <tex>n </tex> испытаниях схемы Бернулли произошло ровно <tex>k </tex> успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события <tex>A</tex>: когда первые <tex>k </tex> испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события <tex>A </tex> отличаются лишь расположением <tex>k </tex> успехов на <tex>n </tex> местах. Есть ровно <tex>\binom{n}{k}</tex> cпособов расположить <tex>k </tex> успехов на <tex>n </tex> местах. Поэтому событие <tex>A </tex> состоит из <tex>\binom{n}{k}</tex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>
}}
Вычислим отдельно вероятности получить 4, 5 и 6 гербов после десяти подбрасываний монеты.
Сложим вероятности несовместных событий:
<tex>P(4)(<tex> \le </tex><tex> v_{10}</tex> <tex> \le </tex>6) = P(<tex> P( v_{10} </tex> = 4) + P(<tex> P( v_{10} </tex> = 5) + P(<tex> P( v_{10} </tex> = 6) <tex> ~\approx ~ 0{.}656 </tex>
{{Теорема
|id=th1
|statement=
Вероятность того, что первый успех произойдёт в испытании с номером <tex>k \in \mathbb N = {1, 2, 3, . . .}, </tex> равна <tex>P(r = k) = pq^ {k - 1} </tex>
|proof=
Вероятность первым <tex> k </tex> − 1 испытаниям завершиться неудачей, а последнему — успехом, равна <tex> P(r = k) = pq^{k - 1} </tex>
}}
{{Теорема
|id=th1
|statement=
Пусть <tex> P(r = k) = pq^{k - 1} </tex> для любого <tex> k \in \mathbb N </tex>. Тогда для любых неотрицательных целых <tex>n </tex> и <tex>k </tex> имеет место равенство: <tex> P(r > n + k | r > n) = P(r > k) </tex>
|proof=
По определению условной вероятности,
|proof=
Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex> n_{2}</tex> двоек, и так далее.
Это результат <tex>n </tex> экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex>p_{n_{1}}...p_{n_{m}}</tex>. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex>1, 2, . . . , m</tex> на <tex>n</tex> местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> местах <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex>n_{2}</tex> двоек,и так далее Это число равно
<tex>\binom{n}{n_{1}}\times \binom{n - n_{1}}{n_{2}} \times \binom{n - n_{1} - n_{2}}{n_{3}}...\times \binom{n - n_{1}...-n_{m - 1}}{n_{m}} =
\frac {n!}{n_{1}! \times n_{2}! .. \times n_{m}!}
