668
правок
Изменения
→Определение
|id=th1
|statement=
Для любого <tex>k = 0, 1, . . . , n </tex> вероятность получить в <tex>n </tex>испытаниях <tex>k</tex> успехов равна <tex>P(v_{n} = k </tex> ) = <tex>\binom{n}{k}</tex> <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex> Набор вероятностей называется биномиальным распределением вероятностей.
|proof=
Событие {<tex>A = v_{n} </tex> = k} означает, что в <tex>n</tex> испытаниях схемы Бернулли произошло ровно <tex>k</tex> успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события <tex>A</tex>: когда первые <tex>k</tex> испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события <tex>A</tex> отличаются лишь расположением <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Есть ровно <tex>\binom{n}{k}</tex> cпособов расположить <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Поэтому событие <tex>A</tex> состоит из <tex>\binom{n}{k}</tex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>
(Набор вероятностей в теореме называется биномиальным распределением вероятностей.)
}}
