Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: th1.
|statement= <texdpi = "150"> !n = n! - \frac{n!}{1!} + \frac{n!}{2!} - \frac{n!}{3} + ... + (-1)^{n}\frac{n!}{n!} = \sum_{k=0}^n(-1)^{k}\frac{n!}{k!} </tex>
|proof=
Воспользуемся принципом включения-исключения: обозначим за <tex>A_i</tex> — количество перестановок из <tex>n</tex> элементов, в каждой из которых <tex>i</tex>-ый элемент стоит на своём месте. Тогда по формуле включения-исключения имеем:
1) <texdpi = "150">\Big |\bigcup_{i=_1}^n A_i \Big| = \sum \limits_{i} |A_i|-\sum \limits_{i<j} |A_i\bigcap A_j|+\sum \limits_{i<j<k} |A_i\bigcap A_j\bigcap A_k|</tex> <tex>- ... +(-1)^{n-1}| A_1 \bigcap A_2 \bigcap ... \bigcap A_n | </tex>
2) <texdpi = "150">\Big |\bigcap_{i=_1}^n \lnot A_i \Big| = |U|-\sum \limits_{i} |A_i|+\sum \limits_{i<j} |A_i\bigcap A_j|-\sum \limits_{i<j<k} |A_i\bigcap A_j\bigcap A_k|</tex> <tex>+ ... +(-1)^{n}| A_1 \bigcap A_2 \bigcap ... \bigcap A_n | </tex>
<tex>|U| = n!</tex>, т.е. количество перестановок из <tex>n</tex> элементов. Откуда следует, что <math>\lnot</math><tex>A_i</tex> — количество перестановок, в каждой из которых <tex>i</tex>-ый элемент стоит не на своём <tex>i</tex>-ом месте.
Таким образом <texdpi = "150">| \bigcap_{i=_1}^n \lnot A_i |</tex> — количество всех перестановок, в каждой из которых <tex>i</tex>-ый элемент <tex>\neq</tex> <tex>i</tex>,т.е. количество искомых беспорядков.
<tex>|A_i| = (n - 1)!</tex> (т.к. <tex>i</tex>-ая позиция занята числом <tex>i</tex>). <mathdpi = "150">\binom{n}{1}</math> — количество способов выбрать одну <tex>i</tex>-ую позицию <math>\Rightarrow</math> <texdpi = "150">\sum \limits_{i = 1}^{n} |A_i| = </tex> <mathdpi = "150">\binom{n}{1}</math><tex> (n-1)!</tex>
Рассмотрим <texdpi = "150"> |A_{i_1} \bigcap A_{i_2} \bigcap ... \bigcap A_{i_k}| </tex>, где <tex> 1\le i_1 < i_2 < ... < i_k \le n </tex>. Так как некоторые <tex>k</tex> позиций <tex>i_1, i_2, ... , i_k </tex> заняты соответствующими числами, то количество способов расставить остальные <tex>n-k</tex> чисел равно <tex>(n-k)!</tex>. То есть <texdpi = "150"> |A_{i_1} \bigcap A_{i_2} \bigcap ... \bigcap A_{i_k}| = (n - k)! </tex> Количество всех способов выбрать <tex>k</tex> позиций <tex>i_1, i_2, ... , i_k </tex> равно <mathdpi = "150">\binom{n}{k} </math>. Таким образом получаем, что:
<texdpi = "150">\sum \limits_{1\le i_1 < i_2 < ... < i_k \le n}^{} |A_{i_1} \bigcap A_{i_2} \bigcap ... \bigcap A_{i_k}| = </tex> <mathdpi = "150">\binom{n}{k}</math><tex>\cdot(n-k)!</tex>
Подставляя соответствующие значения мощностей множеств в формулу включения-исключения, получаем:
<texdpi = "150">| \bigcap_{i=_1}^n \lnot A_i | </tex> <tex>=</tex> <tex>n!</tex> <tex>+</tex> <tex>\sum \limits_{i = 1}^{n} (-1)^{n}(n - k)!</tex><tex>\cdot</tex><mathdpi = "150">\binom{n}{k}</math>
Раскрывая <mathdpi = "150">\binom{n}{k}</math> по общеизвестной формуле, получим требуемое выражение, то есть количество беспорядков порядка <tex>n</tex>.
}}
