Изменения
Нет описания правки
'''Числа Стирлинга первого рода''' (''Stirling numbers of the first kind'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] порядка <tex dpi="130">n</tex> с <tex dpi="130">k</tex> [[Действие перестановки на набор из элементов, представление в виде циклов|циклами]]. Числа Стирлинга 1-го I рода обозначаются как <tex dpi="130">s(n,k)</tex> или <tex dpi="130">\left[{n\atop k}\right]</tex>.
==Пример==
Рассмотрим <tex dpi="130">s(n+1,k)</tex>:
:По определению, данному выше:
:<tex dpi="130">(x)^{n+1}=x(x+1)(x+2)\cdots...(x+n-1)(x+n) = n(x)^{n}+x(x)^{n}</tex>
Заметим, что коэффициенты <tex dpi="130">(x)^{n+1}</tex> — это <tex dpi="130">s(n+1,k)</tex>
Равносильное определение получается, если числа Стирлинга задать как коэффициенты в разложении: <tex dpi="130">(x)^{n} = \sum_{k=0}^n s(n,k) x^k,</tex>
Следовательно, числа Стирлинга 1-го I рода позволяют перейти от базиса <tex dpi="130">(x)^{1},(x)^{2},(x)^{3} \cdots...</tex> к базису <tex dpi="130">1,x,x^2 \cdots...</tex> (одно из основных применений)
Здесь <tex dpi="130">(x)^{n}</tex> обозначим как возрастающие факториальные степени или [http://ru.wikipedia.org/wiki/Символ_Похгаммера| символ Похгаммера]:
:<tex dpi="130">(x)^{n}=x(x+1)(x+2)\cdots...(x+n-1).</tex>
Для ясности рассмотрим пример, при котором <tex>n=3</tex>:
==Связь между числами Стирлинга==
Если числа Стирлинга 1-го I рода позволяют перейти от базиса <tex dpi="130">(x)^{1},(x)^{2},(x)^{3} \cdots...</tex> к базису <tex dpi="130">1,x,x^2 \cdots...</tex>,
то числа Стирлинга 2-го рода играют обратную роль и позволяют перейти от базиса <tex dpi="130">1,x,x^2 \cdots...</tex> к базису <tex dpi="130">(x)^{1},(x)^{2},(x)^{3} \cdots...</tex>.
Следовательно, числа Стирлинга тесно связаны друг с другом, а их связь выражается формулой:
