Изменения
→Пример
Для любого <tex>n</tex> и любых неотрицательных целых чисел
<tex> n_{1}, . . . , n_{m}</tex>, сумма которых равна <tex>n</tex>, верна формула:
<tex> P(n_{1}, . . . , n_{m}) =( \frac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! .. \cdot n_{m}!})\cdot {p_{1}}^{n_{1}}\cdot... \cdot {p_{m}}^{n_{m}}
</tex>
|proof=
Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex> n_{2}</tex> двоек, и так далее.
Это результат <tex>n</tex> экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex>p_{n_{1}}...p_{n_{m}}</tex>. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex>1, 2, . . . , m</tex> на <tex>n</tex> местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> местах <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex>n_{2}</tex> двоек,и так далее Это число равно
<texdpi = "160">\binom{n}{n_1}\cdot\binom{n - n_1 - n_2}{n_2} \binom{n - n_1 - n_2- n_3}{n_3} ...\cdot \binom{n - n_1 - n_2.. - n_{m -1}}{n_m} =
\frac {n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! .. \cdot n_{m}!}
</tex>
Теперь мы можем вернуться к последнему примеру и выписать ответ: так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по <tex>\genfrac{}{}{}{0}{1}{6}</tex>, а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) <tex>\genfrac{}{}{}{0}{4}{6}</tex>, то вероятность получить десять троек, три единицы и ещё два других очка равна
<texdpi = "160"> P(10, 3, 2) = {15!\over 10! \cdot 3! \cdot 2!} \cdot ((\frac{1}{6})^(10)) \cdot (({1\over 6})^3)\cdot(({4\over6})^2)
</tex>
