Изменения

Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{- --}} [[Основные_определения_теории_графов#Двудольный_граф |двудольный граф]]. <ref name="Generalizing"/> <tex>L</tex> {{- --}} множество вершин первой левой доли. <tex>R</tex> {{--- }} множество вершин правой доли.

|definition='''Полным(совершенным)''' паросочетанием ''(англ. perfect matching)'' называется паросочетание , в которое входят все вершины.

|definition=Пусть <tex>X \subset V </tex>. '''Множeство соседей''' <tex>X</tex> ''(англ. neighborhood)'' определим формулой: <tex>N(X)= \{ y \in V: \mid (x,y) \in E , x \in X\}</tex>

|author=Холл<ref name="Marriage"/>|statement=Полное паросочетание существует тогда и только тогда, когда для любого <tex>A \subset L </tex> выполнено <tex>|A| \leq leqslant |N(A)|</tex>.

* <tex>\Rightarrow</tex> <br>Очевидно, что если существует полное паросочетание, то для любого <tex>A \subset L </tex> выполнено <tex>|A| \leq leqslant |N(A)|</tex>. У любого подмножества вершин есть по крайней мере столько же ''соседей'' (''соседи по паросочетанию'').Пусть граф <tex>G'\Leftarrow</tex> <br>В обратную сторону докажем по индукции (будем добавлять в изначально имеет левую долю пустое паросочетание <tex>P</tex> по одному ребру и доказывать, что мы можем это сделать, если <tex>P</tex> не полное). Таким образом, в конце получим что <tex>P</tex> — полное паросочетание. <u>'''''База индукции'''''</u> Вершина из <tex>L</tex> соединена хотя бы с одной вершиной из <tex>R</tex>. Следовательно база верна. <u>'''''Индукционный переход'''''</u> Пусть после <tex>k<n</tex> шагов построено паросочетание <tex>P</tex>. Докажем, которая содержит одну любую что в <tex>P</tex> можно добавить вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex>, не насыщенную паросочетанием <tex>LP</tex> и правую . Рассмотрим множество вершин <tex>R' = RH</tex>*В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять вершину — все вершины, достижимые из <tex>x</tex> , если можно ходить из <tex>LR</tex> в <tex>L'</tex> и доказывать что в L' есть паросочетаниетолько по ребрам из <tex>P</tex>, насыщающее все вершины а из <tex>L'). Таким образом, в конце получим что </tex> в <tex>G'R</tex> совпадает с по любым ребрам из <tex>G</tex>. Из этого будет следовать существование Тогда в <tex>GH</tex> #База: Одна найдется вершина соединена хотя бы с одной вершиной <tex>y</tex> из <tex>R. Следовательно база верна.#Переход: Пусть после k добавлений в G' можно построить паросочетание</tex>, не насыщенная паросочетанием <tex>P</tex>, иначе, насыщающее все если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex> (вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L'</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| \leqslant |N(H_L)|</tex>. Докажем что после добавления вершины Тогда существует путь из <tex>x </tex> в G' <tex>y</tex>, который будет существовать удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex> (т.к из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание насыщающее все вершины L'<tex>P</tex> вдоль этого пути, получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.

==СсылкиПояснения к доказательству==[[Файл:aba.gif|600px|thumb|right|Пример]] Пусть было построено паросочетание размером <tex>3</tex> (синие ребра). Добавляем вершину с номером <tex>4</tex>. Во множество <tex>H</tex> вошли вершины с номерами <tex>1</tex>, <tex>3</tex>, <tex>4</tex>, <tex>5</tex>, <tex>7</tex>, <tex>8</tex>. Ненасыщенная вершина из правой доли всегда найдется (в примере вершина с номером <tex>8</tex>), т.к иначе получаем противоречие:# В <tex>H_R</tex> входят только насыщенные вершины.# <tex>N(H_L) = H_R</tex> # В <tex>H_L</tex> по крайней мере <tex>H_R+1</tex> вершин (''соседи'' по паросочетанию для каждой вершины из <tex>H_R</tex> и ещё одна вершина, которую пытаемся добавить).Цепь <tex>{4, 7, 3, 8}</tex> является удлиняющей для текущего паросочетания. Увеличив текущее парасочетание вдоль этой цепи, мы насытим вершину с номером <tex>4</tex>. ==Смотри См. также==* [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]]* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]* [[Связь вершинного покрытия и независимого множества]] ==Примечания==<references><ref name="Generalizing">Также теорема обобщается на граф, имеющий произвольное множество долей.</ref><ref name="Marriage">Иногда теорему называют теоремой о свадьбах.</ref></references> ==Источники информации==* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D0%B0 Википедия {{---}} Теорема Холла]* [https://en.wikipedia.org/wiki/Hall%27s_marriage_theorem Wikipedia {{---}} Hall's marriage theorem] [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Задача о паросочетании ]]