Изменения

Пусть граф <tex>G'</tex> изначально имеет левую долю <tex>L'</tex>, которая содержит одну любую вершину из <tex>L</tex>, и правую <tex>R' = R</tex>.*В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять какую-нибудь вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex> в изначально пустое паросочетание <tex>G'P</tex> по одному ребру, и доказывать, что в <tex>G'</tex> есть паросочетаниемы можем это сделать, насыщающее все вершины из если <tex>L'P</tex>не полное). Таким образом, в конце получим что <tex>G'</tex> совпадает с <tex>GP</tex>. Из этого будет следовать существование в <tex>G</tex> полного паросочетания— полное паросочетание.#База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из <tex>R'</tex>. Следовательно база верна.#Переход: Пусть после <tex>k</tex> добавлений в <tex>G'</tex> можно построить паросочетание шагов построено парасочетание <tex>P</tex>, насыщающее все вершины из <tex>L'</tex>. Докажем , что после добавления вершины <tex>x</tex> в <tex>G'P</tex> будет существовать паросочетание, насыщающее все вершины <tex>L'</tex>.Добавим можно добавить вершину <tex>x</tex> в , не насыщенную паросочетанием <tex>G'P</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> — все вершины, достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить из <tex>R'</tex> в <tex>L'</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L'</tex> в <tex>R'</tex> по любым ребрам из <tex>G'</tex>. Тогда в <tex>H</tex> найдется вершина <tex>y</tex> из <tex>R'</tex>, не принадлежащая насыщенная паросочетанием <tex>P</tex>, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex>(вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L'</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| > |N(H_L)|</tex>. Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex>, который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex>(т.к из <tex>R'</tex> в <tex>L'</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание <tex>P</tex> вдоль этого пути, получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.