19
правок
Изменения
Скорректировал пример с игральной костью, добавил пример с картами
== Примеры ==
==== Честная игральная кость Карты ====Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»Пусть есть колода из 36 карт (4 масти и 9 номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины: <texmath>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}xi</texmath>- масть вытянутой карты : 0 - червы, 1 - пики, <tex>\xi (i) = i~mod~2</tex>- крести, 3 - бубны <texmath>\eta (i) = \mathcal {b} i / 3 \mathcal {c}</texmath>.- номинал вытянутой карты : 0 - номиналы 6 7 8 9 10; 1 - валет, дама, король, туз Для доказательства того, чтобы показать, что величины <texmath>\xi</tex> и <tex>, \eta</texmath> независимы, надо требуется рассмотреть все <texmath>\alpha,\beta</texmath> и проверить выполнение равенства:<texmath>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</texmath>.
Для примера рассмотрим: <texmath>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 0</tex>. Тогда <tex>P( \xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}</tex>, <tex>P( \eta \leqslant 0) = \frac{1}{3}</texmath>, остальные рассматриваются аналогично:<texmath>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = \frac{15}{636}</texmath>.
==== Тетраэдр ====
Заметим, что если: <tex>\xi (i) = i~mod~3</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor i / 3 \right \rfloor</tex>, то эти величины зависимы: положим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>. Тогда <tex>P(\xi \leqslant 0) = 1/2</tex>, <tex>P(\eta \leqslant 0) = 3/4</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = 1/4 \neq P(\xi \leqslant 0) P(\eta \leqslant 0)</tex>.
==== Честная игральная кость ====
Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: <tex>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}</tex>, <tex>\xi (i) = i~mod~2</tex>, <tex>\eta (i) = \mathcal {b} i / 3 \mathcal {c}</tex>.
Для того, чтобы показать, что величины <math>\xi, \eta</math> зависимы, надо найти такие <math>\alpha, \beta</math>, при которых
<math>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</math>
<math>\alpha = 0, \beta = 1</math>, тогда <math>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}</math>, <math>P(\xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}</math>, <math>P(\eta \leqslant 1) = \frac{5}{6}</math>
<math>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)</math>, откуда видно, что величины не являются независимыми.
== Примечания ==
