355
правок
Изменения
→Единственность производной
=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Производный оператор|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:
<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.
Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:
<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,
то есть
<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}
=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
