1679
правок
Изменения
Новая страница: «<wikitex> {{Определение |id=defvs |definition= '''Линейное (векторное) пространство над полем $K$''' — это ...»
<wikitex>
{{Определение
|id=defvs
|definition=
'''Линейное (векторное) пространство над полем $K$''' — это множество $L$ с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
* По операции сложения $L$ является абелевой группой — выполняются:
** ассоциативность — $\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)$
** существование нейтрального элемента — $\exists \mathrm{0} \in L \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x$, причем можно показать, что он единственный
** существование обратного элемента — $\forall x \in L \exists y: x + y = \mathrm{0}$, такой $y$ называют обратным к $x$, причем можно показать, что он единственный
** коммутативность — $\forall x, y \in L: x + y = y + x$
* Для операции умножения на скаляр:
** ассоциативность умножения на скаляр — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$
** унитарность: $\forall x \in L: 1 \cdot x = x$, где $1$ — единица по умножению в поле $K$
** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — $\forall \alpha \in K \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$
** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$
}}
</wikitex>
{{Определение
|id=defvs
|definition=
'''Линейное (векторное) пространство над полем $K$''' — это множество $L$ с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
* По операции сложения $L$ является абелевой группой — выполняются:
** ассоциативность — $\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)$
** существование нейтрального элемента — $\exists \mathrm{0} \in L \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x$, причем можно показать, что он единственный
** существование обратного элемента — $\forall x \in L \exists y: x + y = \mathrm{0}$, такой $y$ называют обратным к $x$, причем можно показать, что он единственный
** коммутативность — $\forall x, y \in L: x + y = y + x$
* Для операции умножения на скаляр:
** ассоциативность умножения на скаляр — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$
** унитарность: $\forall x \in L: 1 \cdot x = x$, где $1$ — единица по умножению в поле $K$
** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — $\forall \alpha \in K \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$
** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$
}}
</wikitex>
