1679
правок
Изменения
Нет описания правки
** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$
}}
{{Определение
|id=defnorm
|definition=
Функция $\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}$ называется нормой в пространстве $L$, если для нее выполняется:
# $\forall x \in L: \| x \| \ge 0$, $\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}$
# $\forall \alpha \in \mathbb{R} \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|$
# $\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|$
Пространство с введенной на нем нормой называют '''нормированным пространством'''.
}}
Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $\rho(x, y) = \| x - y \|$. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $\mathbb{R}^{\infty}$ c $\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ можно наделить линейной сткуртурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.
Смысл нормы в ЛП состоит в том, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO что-то не особенно понял, к чему тут это
Примеры НП:
* $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$
* $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$
* $X = L_p$ — пространство TODO пшшш,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$,
{{Определение
|definition=
Нормированное пространство $(X, \|\cdot\|)$ называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов $X$, для которых из $\|x_n - x_m\| \to 0$ при $n, m \to \infty$ вытекает существование предела последовательности.
}}
Ссылочки:
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vector space]
</wikitex>
