1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Нормы $\| \|_1$, $\| \|_2$ '''эквивалентны''', если существуют константы $m, M> 0$ такие, что $\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2$. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).
}}
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.
|proof=
Докажем, что произвольная норма $\| \|$ в конечномерном пространстве $X$ эквивалентна $\| \|_2$, то есть выберем $m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2$, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме. TODO : сначала надо что-то сказать про изоморфность конечномерных пространств, чтоли? Выберем и зафиксируем в доказательстве в конспекте я нифига не понялпространстве $X$ произвольный базис $(e_1 \dots e_n)$. 1. $x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k$, $\| x \| = \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le $ ( Кажетсяпо [[неравенству Коши для сумм]]) $ \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}$. Заметим, там используютчто $\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}$ является нормой $\| \|_2$ в координатной записи, тоа $\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}$ является константным значением для фиксированного базиса. Таким образом, получили $\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2$. 2. Теперь надо доказать, что отношение эквивалентности норм $\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|$ Рассмотрим единичный шар по норме $\| \|_2$: $S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}$, $S_2$ является отношением эквкомпактом в $\mathbb{R}^n$ (TODO: почему? может, [http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/functional_analysis/pdf/chap3.pdf тут] есть подсказка). Рассмотрим на нем функцию $f : S_2 \to \mathbb{R}$, $f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|$. TODO: доказать, тчо $f$ непрерывна$|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) -ти f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}$ TODO: бред какой-то, тут пытаемся доказать непрерывность $f$ Так как $f$ непрерывна на $S_2$, то по [[теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный $m$ (пусть он достигается в смысле бинарного отношенияточке $\overline \alpha^*$). Также $f$ не может быть нулем на $S_2$: пусть для какого-то $x \in S_2$ это так, выбирают норму тогда тогда $\| x\|_1= 0 \Rightarrow \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow \|x\|_2 = 0$, что означает, что $x \notin S_2$, то есть $m > 0$. Теперь рассмотрим произвольный ненулевой $x \in \mathbb{R}^n$, тогда точка $x' = {x \over \|x\|_2}$ также принадлежит $\mathbb{R}^n$ по линейности пространства, и в частности, принадлежит $S_2$. Рассмотрим $x'$ : $ f(ну которая сумма модулейx')= \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m$, доказываютто есть $m \| x \|_2 \le \|x\|$. Таким образом, что любая норма ей эквивалентнаполучили обе части тройного неравенства.
}}
TODO: в конспекте мутно, но, видимо, для любой функции $f$ в $C[0; 1]$ можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящуюся к $f$ на $[0; 1]$
|proof=
}}
Ссылочки:
