1302
правки
Изменения
→Непрерывность функционала
{{В разработке}}
{{Определение
|id=contfuncdef
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — нормированное пространство. Линейный функционал <tex> f \in X^* </tex> {{---}} '''непрерывен''' в точке <tex> x </tex>, если
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) </tex>.
}}
Заметим, что в силу линейности функционала нам достаточно проверять непрерывность в нуле:
{{Утверждение
|id=cont0
|statement= Линейный функционал <tex>f</tex> непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> непрерывен в нуле.
|proof=
Рассмотрим <tex> x_n \to 0 </tex>. <tex> f(x_n) \to f(0) = 0 </tex>. Проверим непрерывность <tex>f</tex>:
<tex> x_n \to x \implies x_n - x \to 0 \implies f(x_n - x) \to 0, \quad f(x_n - x) = f(x_n) - f(x), \quad f(x_n) \to f(x) </tex>
}}
Обозначение <tex> \bar V_1 = \{ x \mid || x || \leq 1 \}
