1302
правки
Изменения
м
Введем норму в <tex> X^* </tex>[[Категория: <tex> \| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup_{\| x \| \leq 1} {| f(x) |} </tex> {{Определение|id=finitefuncdef|definition=<tex> f </tex> — '''ограниченный''' функционал, если <tex> \| f \| < \infty </tex>.}}Функциональный анализ 3 курс]]
Нет описания правки
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
{{Определение
|id=linfuncdef
Пусть <tex>X</tex> — нормированное пространство. Линейный функционал <tex> f \in X^* </tex> {{---}} '''непрерывен''' в точке <tex> x </tex>, если
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) </tex>.
}}
|statement= Линейный функционал <tex>f</tex> непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> непрерывен в нуле.
|proof=
Рассмотрим <tex> x_n \to 0 </tex>. <tex> f(x_n) \to f(0) = 0 </tex>. Проверим непрерывность <tex>f</tex>:
<tex>f(x_n - x) = f(x_n) - f(x), \quad f(x_n) \to f(x) </tex>
}}
Обозначение <tex> \overline{V}_1 = \{ x : \| x \| \leq 1 \} </tex>
