689
правок
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
Будем рассматривать пару пространств <tex>X, Y</tex> и оператор <tex>A: X \rightarrow Y</tex>.
{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> называется '''линейным''', если <tex>A(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha A(x_1) + \beta A(x_2)</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
'''Нормой''' оператора <tex>A</tex> называется <tex>\|A\| = \sup\limits_{\|x\| = 1} \| Ax \|</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''ограничен''', если <tex>\|A\| \le \infty</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''непрерывен''' в точке <tex>x_0</tex>, если <tex>\lim\limits_{x \rightarrow x_0} Ax = Ax_0</tex>.
}}
Так же, как и в случае с линейным функционалом, можно показать, что ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности. {{TODO|t=надо бы показать}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>Y</tex> - линейное множество, <tex>Cl Y = X</tex>, <tex>A: Y \rightarrow Z</tex> - линейный ограниченный оператор, <tex>Z</tex> {{---}} банахово.
Тогда <tex>\exists B: X \rightarrow Z</tex>:
# <tex>B|_Y = A</tex>
# <tex>\|B\| = \|A\|</tex>
|proof=
Так как <tex>Cl Y = X</tex>, то для любого <tex>x</tex> из <tex>X</tex> можно подобрать последовательность <tex>y_n \in Y: y_n \rightarrow x</tex>.
<tex>z_n = Ay_n \in Z</tex>, <tex>\|z_n - z_m\| = \|A(y_n - y_m)\| \le \|A\|\|y_n = y_m\| \xrightarrow[n,m\to \infty]{} 0</tex>.
<tex>\{ z_n \}</tex> сходится в себе, следовательно, в силу банаховости <tex>Z</tex>, <tex>\{ z_n \}</tex> сходится, <tex>\exists z = \lim\limits_{n \to \infty} z_n</tex>
<tex>z \underset{def}{=} Bx = \lim\limits_{y_n \to x} Ay_n</tex>
Оператор <tex>B</tex> линеен по арифметике предела. Проверим однозначность определения:
Пусть <tex>y_n' \to x</tex>, тогда <tex>\|Ay_n' - Ay\| \le \|A\|\|y_n - y_n'\| \to 0</tex>, то есть, <tex>\lim Ay_n' = \lim Ay_n</tex>, и оператор определен корректно.
"Ясно, что норма оператора сохраняется, здесь все тривиально"{{TODO|t=написать о тривиальном}}
}}
Обычно пространство линейных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> обозначают как <tex>L(X, Y)</tex>.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>Y</tex> {{---}} банахово, тогда <tex>L(X, Y)</tex> тоже банахово.
|proof=
Рассмотрим сходящуюся в себе последовательность операторов <tex>A_n</tex> в <tex>L(X, Y)</tex>.
Для произвольного <tex>x \in X</tex> рассмотрим <tex>\{A_n x\}</tex>:
<tex>\|A_nx -A_mx\| = \|(A_n - A_m)x\| \le \|A_n - A_m\| \|x\| \to 0</tex>
Так как <tex>\{A_nx\}</tex> сходится в себе, то существует <tex>y = \lim\limits_{n \to \infty} A_n x, y \underset{def}{=} Ax</tex>.
Проверим, что <tex>A</tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, <tex>A = \lim\limits{n \to \infty} A_n</tex>. Рассмотрим <tex>\|x\| \le 1</tex>.
Так как <tex>\{A_n\}</tex> сходится в себе, то <tex>\forall \varepsilon \exists N: \forall n, m \ge N \| A_n - A_m \| < \varepsilon</tex>.
По определению <tex>A</tex>, <tex>\forall \varepsilon \exists N_1: \forall n \ge N_1 \| A_n x - A x \| < \varepsilon</tex>.
Значит, можно выбрать <tex>n_1 \ge N, N1</tex>, такое, что <tex>\forall m \ge N: \|Ax - A_m x\| \le \|Ax - A_{n_1} x\| + \|(A_{n_1} - A_m) x\| \le 2 \varepsilon</tex>.
Таким образом, <tex>\|A - A_m\| = \sup\limits{\|x\| \le 1} \|Ax - A_m x\| \le 2 \varepsilon \to 0</tex>.
}}
Пример (пример линейного ограниченного оператора, что ли? зачем?): <tex>X = C[0, 1]</tex>, <tex>K</tex> - непрерывная на <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex> функция, <tex>x \in X</tex>. <tex>A(x, t) = \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) ds</tex> {{---}} интегральный оператор Фредгольма. Очевидно, он линеен и ограничен.
Сама по себе задача вычисления <tex>\|A\|</tex> может быть нетривиальной даже в конечномерном случае.
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
