689
правок
Изменения
м
Принцип принцип равномерной ограниченности
Нет описания правки
Банах, Штейнгауз
|about=
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} банахово, <tex>A_n \in L(X, Y)</tex>, <tex>A_n</tex> поточечно ограничена. Тогда <tex>A_n</tex> равномерно ограничена.
<tex>\exists n_2: \|A_{n_2} x_2\| \ge 2</tex>; <tex>A_{n_2}</tex> непрерывен, берем <tex>V_r(x) = \overline {V_2} \subset \overline {V_1}</tex>, где <tex>r = \frac {r(\overline V_1)}{2}</tex>.
Продолжая таким образом, выстраиваем последовательность вложенных шаров <tex>\overline {V_{n_m}}: \overline {V_{n_{m+1}}} \subset \overline {V_{n_m}}, r_{n_m} \to 0, \forall x \in \overline {V_{n_m}}: \|A_{n_m} x \| > m</tex>.
Так как <tex>Y</tex> - банахово, то существует <tex>c \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline {V_{n_m}}</tex>, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| < +\infty</tex>.
Но <tex>\forall m: \|A_{n_m}(c)\| > m\|</tex>, то есть, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty</tex>. Получили противоречие, значит, <tex>A_n</tex> равномерно ограничена.
