1302
правки
Изменения
м
→Непрерывность функционала
|id=continue
|statement= Пусть <tex> Y </tex> — линейное всюду плотное в <tex> X </tex> множество.
<tex> f </tex> — линейный непрерывный функционал на <tex> Y </tex>. Тогда существует единственный <tex> \tilde widetilde f </tex> — линейный непрерывный функционал на <tex> X </tex> такой, что:
1) <tex> \tilde widetilde f |_Y = f </tex> — сужение на <tex> Y </tex> совпадает с <tex> f </tex>.2) <tex> \| \tilde widetilde f \|_X = \| f \|_Y </tex>
|proof=
Рассмотрим последовательность <tex> \{ f(y_n) \} </tex>.
Установим, что она сходится в себе на <tex> \mathbb{R} \implies \exists\, \lim_lim\limits_{n \to \infty} f(y_n) = \tilde widetilde f(x) </tex>.Проверим <tex> y'_n \to x \implies \lim f(y_n) = \lim f(y'_n) </tex>.
Значит наше определение корректно — предел не зависит от выбора <tex> y_n </tex>.
Проверяем, что <tex> \tilde widetilde f </tex> — линейный и удовлетворяет условию теоремы.
}}
