Изменения

Пусть <tex>X</tex> — НП и <tex>Y</tex> — линейное конечномерное подпространство подмножество в <tex>X</tex>, тогда <tex>Y</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>, т.е.

Пусть для произвольного <tex>y \in X</tex>, <tex>y_m \in Y, y_m \to y, Y = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|</tex> --- исходная норма. <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k</tex>, пусть <tex>\|y\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}</tex>. По теореме Рисса, нормы <tex>\|\cdot\|</tex> и <tex>\|\cdot\|_2</tex> в <tex>Y</tex> эквивалентны; в <tex>\|\cdot\|_2</tex>, очевидно, есть покоординатная сходимость. Возьмем еще одну последовательность <tex>y_p \to y</tex>, <tex>\|y_m - y_p\| \to 0 \Rightarrow \|y_m - y_p\|_2 \to 0</tex>.  Вследствие покоординатной сходимости, <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0</tex>. По полноте вещественной оси, все <tex>n</tex> последовательностей сходятся: <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^(p) \to \alpha_k^*</tex>.

Пример: Так как <tex> X \|y_m - y^*\| \to 0</tex> и <tex>y = \sum\limits_{k= C[0; 1]}^{n} \alpha_k^* e_k \in Y</tex>, то <tex>y \in Y</tex> — пространство всех полиномов и <tex>Y = \mathrm{{TODO|t=дописать утверждениеCl} Y</tex>.}}

{{Теорема|authorПример: <tex> X =Вейерштрасс|about=аппроксимационная теорема Вейерштрасса (Стоуна-Вейерштрасса)|proof={{TODO|t=НепонятноC[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов степени не выше <tex> n </tex>. Очевидно, <tex> Y </tex> конечномерно, и, по только что она тут делаетдоказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из <tex> Y </tex>, то ее пределом будет также полином из <tex> Y </tex>. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математическогог анализа получается очень непросто.}}}}