Изменения

'''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.<br> Две системы полунорм '''эквивалентны''', если они порождают одну и ту же сходимость.

Пример:* $X = C^{(\infty)}[a; b]$Заметрим, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$, следовательно, его можно рассматривать как что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированное пространство и как метрическое. Возникает вопрос нормированных, но обратное в каком общем случае можно нормироватьневерно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм.?

Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(Xx)$.

Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли Две системы полунорм эквивалентны, если они порождают одну и ту же сходимостьили посмотреть в Вулиха, Введение в функциональный анализ, стр. 362, там это есть для максимума. TODO: какая-то неразборчивая хурма

Полунорма $q$ '''мажорирует''' полунорму $p$, если $\exists C \forall x \in X: p(x) \le C q(x)$.<br>Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если каждая полунорма из $\forall {p_n \exists q_{m_n} \exists c_n \forall x \in X: p_n(x) < c_n q_{m_n}(x)$, $c_n$ — константа. TODO не пойму, $q_{m_n}$ означает просто что мажорируется какой-то номер полунормой из $m\{q_n\}$, свой для конкретного $n$ или что?.

В обратную сторону: пусть они мажорируют друг другарассмотрим любую полунорму $p_m$: по мажорируемости, тогда $q_n\exists q_k \exists M: p_m(x_n - x) \le c_n p_mM q_k(x_n - x)$, то есть из сходимости но $p_mq_k(x_n - x)\to 0$ следует сходимость по сходимости $q_n(x)x_n$. Аналогично из по системе полунорм $p_n(x) \le c_n q_m(x)q$ и сходимости . Абсолютно симметрично для случая, когда $q_m(x)p$ следует сходимость мажорирует $p_n(x)q$.

В прямую сторону: пусть системы $\{p_n\}p$ и $\{q_n\}q$ эквивалентны. Установим, что $\{q_n\}q$ мажорирует $p$, то что $p$ мажорирует $\{p_n\}q$доказывается аналогично. Докажем от противного: пусть существует $p_{n_0M}$, не мажорируемая ни одной полунормой из $\{q_n\}q$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_{n_0}p_M(x_n) \ge > n q_n(x_n)$. TODO блинПо гомогенности полунормы, если вместо $x_n$ взять $y_n = {x_n \over p_M(x_n)}$, тутнеравенство все еще будет соблюдаться, а норма $p_M(y_n)$ будет равна $1$, то есть получили $1 > n q_n(y_n)$ и последовательность $y_n$ по полунорме $p_M$ не сходится к 0. Покажем, кажетсячто $y_n \to 0$ по полунормам системы $q$, то есть $\forall m: q_m \xrightarrow[n\to \infty]{} 0$ клашится: для каждого конкретного $m$ возьмем члены $y$ начиная с $m$-того элемента, нифига не понятно тогда $\forall n \ge m: q_m(y_n) \le q_n(y_n)$ (это по монотонности) $\le {1 \over n}$ (по уже доказанному), устремив $n \to \infty$ получаем, что каждая конкретная полунорма стремится к нулю, то есть по системе $p$ последовательность $y_n$ не сходится, а по $q$ — сходится, противоречие.

Критерий нормируемости счетно-нормированного пространства: система полунорм {{Определение|definition=Полунорма $p_n$ в системе $p$ '''существенна''', если она не мажорируется ни одной из предыдущих полунорм (TODO пшшш в скобках). TODO: видимо, тут хотят сказать, что этой системы с меньшими чем $\forall m > n: $ номерами.}}

Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм$p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.

TODO: не осознал формулировку как-то, да и вообще мутноcoming soon