Изменения

{{Определение|definition=Множество <mathtex>\mathbb N</mathtex> будем называть '''множеством натуральных чисел''', если зафиксирован некоторый элемент <mathtex> 1\in\mathbb N</mathtex> (единица) и функция <mathtex>S\colon\mathbb N\to\mathbb N</mathtex> (функция следования) так, что выполнены следующие условия# <mathtex>1\in\mathbb{N}</mathtex> (<mathtex>1</mathtex> является натуральным числом);# Если <mathtex>x\in\mathbb{N}</mathtex>, то <mathtex>S(x)\in\mathbb{N}</mathtex> (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);# <mathtex>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</mathtex> ('''1''' не следует ни за каким натуральным числом);# Если <mathtex>S(b)=a</mathtex> и <mathtex>S(c)=a</mathtex>, тогда <mathtex>b=c</mathtex> (если натуральное число <mathtex>a</mathtex> непосредственно следует как за числом <mathtex>b</mathtex>, так и за числом <mathtex>c</mathtex>, то <mathtex>b=c</mathtex>);# '''Аксиома индукции'''. Пусть <mathtex>P(n)</mathtex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <mathtex>n</mathtex>. Тогда::: если <mathtex>P(1)</mathtex> и <mathtex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</mathtex>, то <mathtex>\forall n\;P(n)</mathtex>:: ('''Если''' некоторое высказывание <mathtex>P</mathtex> верно для <mathtex>n=1</mathtex> (''база индукции'') и для любого <mathtex>n</mathtex> при допущении, что верно <mathtex>P(n)</mathtex>, верно и <mathtex>P(n+1)</mathtex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <mathtex>P(n)</mathtex> верно для любых натуральных <mathtex>n</mathtex>).}}