1679
правок
Изменения
вроде немного понятности добавлено, проверьте на правильность
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное множествопространство. Функционал <tex>f: X \rightarrow \mathbb R</tex> подчинен полунорме <tex>p</tex> на X, если <tex>\forall y \in Y |f(y)| \le p(y)</tex>
}}
Хан, Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное множествопространство, <tex>p</tex> {{---}} полунорма на нем, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> удовлетворяет условию подчиненности <tex>p</tex>.
Тогда существует линейный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что:
# <tex>g|_Y = f</tex>
Хан, Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное ]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
|proof=
'''1'''
Рассмотрим <tex>z \overline \in notin Y</tex>, <tex>L = \{ y + tz, t \in \mathbb R, y \in Y\}</tex>
<tex>L</tex> {{---}} линейное подпространство <tex>X</tex>, <tex>Y \subset L</tex>.
<tex>g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)</tex>
Пусть <tex>g(z) = -c</tex>, подберем <tex>c</tex> так, чтобы нормы <tex>f</tex> и <tex>g</tex> совпадали. В силу ограниченности <tex>f</tex>, <tex>|f(y)| \le \|f\|\|y\|</tex>, мы хотим найти такое <tex>c</tex>, чтобы выполнялось <tex>g(y+tz) \le p(y+tz)</tex>, где <tex>p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X</tex>. Заметим, что <tex>p</tex> является полунормой.
Добьемся того, чтобы <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, из этого будет следовать, что <tex>\|g\| = \|f\|</tex>, так как при продолжении функционала его норма уменьшится не может.
<tex>|f(y) - tc| \le p(y+tz)</tex>
<tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1 - y_2) = p((y_1+z) - (y_2+z)) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex>.
Значит, можно взять любое <tex>c</tex> из отрезка <tex>[A; B]</tex>, а значение <tex>g</tex> на <tex>z \notin Y</tex> позволяет доопределить значение функционала на всем <tex>L</tex> по линейности.
'''2'''
Так как мы рассматриваем сепарабельное НП, то существует последовательность <tex>e_1, e_2, \ldots, dots e_n\dots</tex>, замыкание линейной оболочки которой совпадает со всем пространством <tex>X</tex>.
Пользуясь пунктом 1, мы можем выстроить последовательность линейных подпространств в <tex>X</tex>, <tex>L(e_1) \subset L(e_1, e_2) \subset \ldots \subset L(e_1, \ldots, e_n) \subset \ldots</tex>
Тогда <tex>L(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} L(e_1, e_2, \ldots e_n)</tex>, и <tex> Cl L(e_1, e_2, \ldots e_n\dots) = X</tex>, требуемый функционал можно продолжить по непрерывности.
}}
