1679
правок
Изменения
выаыа
{{Теорема
|author=Банах
|about=о непрерывной обратимости I-C
|statement=
Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, оператор <tex> C : X \to X, C \in \mathbb{L}(X) </tex> и <tex> \| C \| < 1 </tex>.
Так как <tex> \| C \| < 1 </tex>, то существует такой <tex> S \in \mathbb{L}(X) </tex>, что <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex>.
<tex> S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S </tex>. Поскольку <tex> \| C \| < 1 </tex>, то <tex> \| C^k \| \to 0 </tex>, а значит, и <tex> C^k \to 0 \mathbb{O} </tex>. {{TODO|t=красивый ноль}}
<tex> (I - C)S_n = I - C^{n + 1} </tex>. Устремляя <tex> n </tex> к бесконечности, получаем <tex> (I - C)S = I </tex>, а значит <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} </tex> {{---}} ограниченный оператор.
{{Утверждение
|statement=
Рассмотрим линейный оператор <tex> A : X \xrightarrow[]{linear} to Y </tex>. Обозначим <tex> X_n = \{ x \in X: \| Ax \| \le n \| x \| \} </tex>.
Тогда хотя бы одно <tex> X_n </tex> ''всюду плотно в <tex> X </tex>''.
|proof=
Очевидно, что <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X_n </tex>, <tex> X </tex> {{---}} B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по [[теореме Бэра о категориях]], <tex> X </tex> {{---}} 2 категории <tex> \implies </tex> , то есть в каком-то шаре <tex> \overline{V_r(a)} </tex> есть такое <tex> X_{n_0} </tex>, что оно всюду плотно в этом шаре.
Рассмотрим кольцо: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. Обозначим <tex> y = z - a </tex>, тогда кольцо имеет следующий вид: <tex> \{\frac r2 \le \| y \| \le r \} </tex> {{---}} кольцо с центром в <tex> 0 </tex>.
|about=Банаха, о гомеоморфизме
|statement=
Пусть <tex> A : X \xrightarrow[]{bijective} to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор. , причем осуществляющий взаимо однозначное отображение, Тогда тогда <tex> A^{-1} </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.
|proof=
